Satz des Thales

Satz:

Dieser Satz wird dem Philosophen und Mathematiker Thales von Milet zugeschrieben, welcher 600 v. Chr. lebte. Die Aussage des Satzes war jedoch schon den Ägyptern und Babyloniern bekannt.

Inhaltsverzeichnis:

Beispiel:

Wir illustrieren diesen Satz jetzt mit einem Beispiel:

Wir konstruieren den Durchmesser AB eines Kreises (Länge: 6cm).

Wir zeichnen den Mittelpunkt bei der Hälfte ein und konstruieren einen Halbkreis.


Wir zeichnen die Punkte X, Y und Z ein, welche auf dem Halbkreis liegen.


Wir verbinden die Punkte X, Y und Z jeweils mit A und B.
Und wir sehen: Die Winkel sind alle rechte Winkel!

Interaktive Grafik:

In diesem interaktiven Beispiel kannst du selber den Punkt X verschieben und sehen, dass der Winkel stets ein rechter Winkel bleibt:

Beweis vom Satz des Thales:

Um den Satz des Thales zu beweisen, werden lediglich zwei Hilfssätze benötigt:

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Wir konstruieren zunächst in einen Halbkreis mit Mittelpunkt $M$ das Dreieck $ABC$. Zeichnen wir $CM$ ein, können wir erkennen, dass $ABC$ in die Dreiecke $AMC$ sowie $MBC$ geteilt wird. Diese Dreiecke sind gleichschenklig (Radien des Halbkreises).

Für die Winkelsumme im großen Dreieck gilt die folgende Beziehung: $\alpha + \beta + \gamma = 180°$. Da sich der Winkel $\gamma$ aus $\alpha$ und $ \beta $ zusammensetzt (also da gilt $\alpha + \beta = \gamma$) erhalten wir nach Einsetzen $\alpha + \beta + \alpha + \beta = 180°$. Umformen ergibt $\alpha + \beta = 90°$. Da jedoch gilt dass $ \gamma= \alpha+\beta $, erhalten wir $\gamma=90°$. Somit handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck.

Hinweis: Der griechische Mathematiker Euklid hat den Beweis im 3.Jahrhundert ebenfalls auf diese Art und Weise geführt.

Weiterführende Informationen: