Satz von Euklid

2.Klasse (Österreichischer Schulplan)

Satz von Euklid:
Es gibt unendlich viele Primzahlen.

"Entdeckt" wurde dieser Satz vom griechischen Mathematiker Euklid im Jahre 300 v. Chr.

Hier folgen Exkurse! Nicht für die Schule relevant, aber durchaus interessant!

Beweis des Satzes von Euklid (in Worten):

Der Beweis erfolgt indirekt: Man nehme an es gäbe nicht unendlich viele Primzahlen. Daher können wir die Primzahlen in eine Liste schreiben, also von der ersten bis zur letzten. Jetzt multiplizieren wir aber all diese Primzahlen miteinander und addieren zum Schluss noch die Eins dazu. Diese Zahl darf nach unserer Annahme keine Primzahl sein (wir gehen ja davon aus, wir kennen alle). Allerdings ist diese konstruierte Zahl nicht durch all diese Primzahlen teilbar (es bleibt ja immer 1 Rest) --> wir haben eine weitere Primzahl gefunden, die nicht Bestandteil der Liste ist --> es gibt unendlich viele Primzahlen

Weitere Primzahlsätze:

Zwischen einer Zahl (Zahl $>1$) und dem doppelten der Zahl liegt stets eine Primzahl. Formal bedeutet dies: Für jede natürliche Zahl $n$ existiert eine Primzahl, sodass die Ungleichung $n < p < 2n $ erfüllt ist.
So liegt beispielsweise im Intervall $[3,6]$ die Primzahl $5$ oder im Intervall $[5,10]$ die Primzahl $7$. Dieses Resultat aus der Zahlentheorie wird Bertrand'sches Postulat genannt.
Kleiner fermatscher Satz: Für eine Primzahl $p$ gilt, dass $a^p \equiv a \mod p$ und wenn $a$ kein Vielfaches von $p$ ist, gilt zusätzlich $a^{p-1} \equiv 1 \mod p$. Beispielweise gilt für $a=3$ und $p=5$, dass $a^p=3^5=243 \equiv 3 \mod 5$ ist.

Weiterführende Links:

Umfangreiches Zahlentheorie Skript von Markus Fulmek (ab Seite 24)

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