Höhensatz und Kathetensatz Erklärung

4.Klasse (Österreichischer Schulplan)

Der Satz:
In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt:

$ h^2 = p \cdot q $ <-- Höhensatz
$ a^2= p \cdot c $ <-- Kathetensatz 1
$ b^2=q \cdot c $ <-- Kathetensatz 2

Veranschaulichung des Höhensatzes:

Erklärung der Konstruktion:
Zeichne die Normale zum Eckpunkt C ein (das ist auch die Höhe h). Die Seitenlänge c wird somit in zwei Teile geteilt, die wir $ p $ und $q$ nennen. Es gilt, dass $ h^2 = p \cdot q $.

Wir bezeichnen den Schnittpunkt der Höhe $h$ mit der Seitenlänge $c$ mit $X$. Die Strecke $\overline{XC}$ teilt somit das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke.

Anwenden des pythagoräischen Lehrsatzes im Dreieck $AXC$ sowie im Dreieck $XBC$ ergibt: $$ a^2=h^2+p^2 \\[5pt] b^2=q^2+h^2 $$ Zusätzlich gilt, dass $ c = p + q $ ist. Nun setzen wir die aufgestellten Gleichungen in $a^2+b^2=c^2$ ein. Wir erhalten nun: $$ (h^2+p^2)+(q^2+h^2)=(q+p)^2 \ \Leftrightarrow \\[5pt] h^2+p^2+q^2+h^2=q^2+2 \cdot p \cdot q + p^2 \ \mid -q^2 \ - p^2 \ \Leftrightarrow \\[5pt] 2 \cdot h^2 = 2 \cdot p \cdot q \ \mid \div 2 \ \Leftrightarrow \\[5pt] \underline{\underline{ h^2 = p \cdot q }} $$
Somit haben wir den Höhensatz bewiesen.

Veranschaulichung des Kathetensatzes:

Erklärung der Konstruktion:
Zeichne die Normale zum Eckpunkt C ein. Die Seitenlänge c wird somit in zwei Teile geteilt, die wir $ p $ und $q$ nennen. Es gilt, dass $ a^2 = p \cdot c $ und $ b^2=q \cdot c $.

Wir bezeichnen den Schnittpunkt der Höhe $h$ mit der Seitenlänge $c$ mit $X$. Die Strecke $\overline{XC}$ teilt somit das Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke.

Anwenden des pythagoräischen Lehrsatzes im Dreieck $AXC$ sowie des Höhensatzes ergibt:

$$ b^2 = q^2 + h^2 \ \Leftrightarrow \\[5pt] b^2=q^2+p \cdot q \ \Leftrightarrow \\[5pt] b^2 = q \cdot (q+p) \ \Leftrightarrow \\[5pt] b^2 = q \cdot c $$ Der erste Teil des Kathetensatzes ist nun bewiesen.

Der zweite Teil erfolgt analog. Anwenden des pythagoräischen Lehrsatzes im Dreieck $XBC$ sowie des Höhensatzes ergibt: $$ a^2 = p^2 + h^2 \ \Leftrightarrow \\[5pt] a^2=p^2+p \cdot q \ \Leftrightarrow \\[5pt] a^2 = p \cdot (p+q) \ \Leftrightarrow \\[5pt] \underline{\underline{ a^2 = p \cdot c }}$$
Somit haben wir den kompletten Kathetensatz bewiesen.

Beispiele:
Bei einem rechtwinkligen Dreieck ist $a=4 \ cm$ und $ c=5 \ cm $. Berechne $p$!

Die Lösung:
Einsetzen in die Formel $ a^2 = p \cdot c $ ergibt
$ 4^2 = p \cdot 5 \\[8pt] 16 = p \cdot 5 \ \mid \ \div 5 \\[8pt] \underline{\underline{3.2=p}} $

Antwort: Die Länge von $ p $ beträgt somit $3.2 \ cm$.

Bei einem rechtwinkligen Dreieck ist $c=8 \ cm$ und $ q=5 \ cm $. Berechne $b$!

Die Lösung:
Einsetzen in die Formel $ b^2 = q \cdot c $ ergibt
$ b^2 = 5 \cdot 8 \\[8pt] b^2 = 40 \ \mid \ \sqrt{} \\[8pt] \underline{\underline{b=6.32}} $

Antwort: Die Länge von $ b $ beträgt somit $6.32 \ cm$.

Bei einem rechtwinkligen Dreieck ist $p=3 \ cm$ und $ q=4 \ cm $. Berechne $h$!

Die Lösung:
Einsetzen in die Formel $ h^2 = p \cdot q $ ergibt
$ h^2 = 3 \cdot 4 \\[8pt] h^2 = 12 \ \mid \ \sqrt{} \\[8pt] \underline{\underline{h=3.46}} $

Antwort: Die Länge von $ h $ beträgt somit $3.46 \ cm$.

Exkurs:
Wenn für ein beliebiges Dreieck der Höhensatz bzw. der Kathetensatz gilt, handelt es sich automatisch um ein rechtwinkliges Dreieck.

Weitere Informationen:

Beweis des Höhen- und Kathetensatzes (ab Seite 9)

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