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Einheitskreis


Auf dieser Seite erklären wir dir, was der Einheitskreis ist und wofür du ihn brauchst.

Was ist ein Einheitskreis?
Ein Kreis mit Radius 1 wird Einheitskreis genannt. Der Kreis wird in ein Koordinatensystem gezeichnet, wobei der Mittelpunkt dem Ursprung entspricht.

Wofür brauche ich überhaupt den Einheitskreis?
Der Einheitskreis hilft bei der Veranschaulichung der Winkelfunktionen.

Ablesen der Sinus und Cosinus Werte:


Befolge die folgende Anleitung: Bewege den Punkt $A$ entlang des blauen Kreises und der Winkel $ \alpha $ vergrößert bzw. verkleinert sich dann. Die grünen Linien sind der Sinus bzw. der Kosinus von dem Winkel.



Achtung! Der Sinus- bzw. Kosinus kann auch einen negativen Wert annehmen. Denn die Achsen des Einheitskreises gehen von $-1$ bis $1$. Deshalb sind die Werte des Sinus und Kosinus immer zwischen $-1$ und $1$.


Wichtige Verständnisfragen:


Gibt es Winkel bei denen der Sinus gleich dem Kosinus ist?
Ja, die gibt es. Bei 45° und bei 225° ist der Sinus=Kosinus. Schaue es dir in der interaktiven Grafik an.

Wie kann ich zu einem bestimmten Sin oder Kosinus Wert den dazugehörigen Winkel bestimmen?
Anleitung für Sinus-Wert:
Zeichne auf der y-Achse den Sinus-Wert ein. Anschließend konstruierst du eine Normale, die durch den Punkt des Sinus Wertes verläuft. Dort, wo sich die Normale und der Kreis schneiden, ist der Punkt A. Verbinde nun den Ursprung mit dem Punkt A. Der sich nun ergebende Winkel ist der gesuchte Winkel.

Anleitung für Kosinus-Wert:
Zeichne auf der x-Achse den Kosinus-Wert ein. Anschließend konstruierst du eine Normale, die durch den Punkt des Kosinus Wertes verläuft. Dort, wo sich die Normale und der Kreis schneiden, ist der Punkt A. Verbinde nun den Ursprung mit dem Punkt A. Der sich nun ergebende Winkel ist der gesuchte Winkel.

Wie kann ich zu einem bestimmten Winkel die dazugehörigen Sinus bzw. Kosinus Werte bestimmen?
Zeichne den Winkel im Einheitskreis ein. Dort wo sich der Schenkel des Winkels und der Einheitskreis schneiden, ist der Punkt A. Verbinde nun den Ursprung mit A. Der x-Wert vom Punkt A ist der Kosinus und der y-Wert ist der Sinus.

Warum gibt die x-Achse den Kosinus-Wert und die y-Achse den Sinus-Wert von einem bestimmten Winkel $\alpha$ an?
Dafür müssen wir etwas weiter ausholen. Um diese Behauptung beweisen zu können, benötigen wir die Formeln für Sinus bzw. Kosinus im rechtwinkligen Dreieck. (--> dazugehörige Seite). Diese lauten:

$sin ( \varphi ) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}}\\[6pt]$    (1)
$cos ( \varphi ) = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypothenuse}}$    (2)

Die Hypothenuse beträgt $1$ (es ist ja ein Einheitskreis) und der Winkel ist $\alpha$.

-Begründung, dass die y-Achse den Sinus-Wert angibt:
Einsetzen in die erste Formel ergibt: $ sin(\alpha) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{1} = \text{Gegenkathete}$. Somit entspricht die Gegenkathete (Winkel gegenüber von $ \alpha $) dem Sinus Wert des Winkels $\alpha$.

-Begründung, dass die x-Achse den Kosinus-Wert angibt:
Einsetzen in die zweite Formel ergibt: $ cos(\alpha) = \dfrac{\text{Ankathete}}{1} = \text{Ankathete}$. Somit entspricht die Ankathete dem Kosinus Wert des Winkels $\alpha$.

Warum gilt die Beziehung $sin^2(x)+cos^2(x)=1$
Um diese Beziehung beweisen zu können, benötigen wir den pythagoräischen Lehrsatz:

Bei dem hier vorliegenden rechtwinkligen Dreieck sind die Katheten $sin(x)$ bzw. $cos(x)$ und die Hypothenuse ist 1. Einsetzen in $a^2+b^2=c^2$ ergibt nun $sin^2(x)+cos^2(x)=1$.


Tabelle mit besonderen Sinus-Werten:
$0^\circ$ $30^\circ$ $45^\circ$ $60^\circ$
$0$ $0.5$ $ \dfrac{\sqrt{2}}{2} $ $ \dfrac{\sqrt{3}}{2} $

$90^\circ$ $180^\circ$ $270^\circ$
$ 1 $ $ 0 $ $ -1 $


Tabelle mit besonderen Kosinus-Werten:
$0^\circ$ $30^\circ$ $45^\circ$ $60^\circ$
$1$ $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ $ \dfrac{\sqrt{2}}{2} $ $ \dfrac{1}{2} $

$90^\circ$ $180^\circ$ $270^\circ$
$ 0 $ $ -1 $ $ 0 $

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