Vektoren Winkel

5.Klasse (Österreichischer Schulplan)

Definition:
Den Winkel zwischen zwei Vektoren $ \vec{a}$ und $\vec{b} $ berechnest du dir, indem du die beiden Vektoren in folgende Formel einsetzt:
$ \varphi = cos^{-1} \Bigg ( \dfrac{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } }{ \vert \vec{ a } \vert \cdot \vert \vec{ b } \vert }\Bigg ) $

Tipps fürs Ausrechnen:
Berechne dir zuerst das Skalarprodukt sowie den Betrag beider Vektoren. Setze dann diese Ergebnisse in die Formel ein und vereinfache.

Beispiele:
1) Berechne den Winkel zwischen den Vektoren $ \vec{a}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ \end{pmatrix}$ und $ \vec{b}=\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ \end{pmatrix}$!

Die Lösung:
Einsetzen der Vektoren in die Formel $ \varphi = cos^{-1} \Bigg ( \dfrac{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } }{ \vert \vec{ a } \vert \cdot \vert \vec{ b } \vert }\Bigg ) $ ergibt $ \varphi = cos^{-1} \left ( \dfrac{ \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ -5 \ \end{pmatrix} }{ \left \vert \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \ \end{pmatrix} \right \vert \cdot \left \vert \begin{pmatrix} -4 \\ -5 \ \end{pmatrix} \right \vert } \right ) $
Das Ausrechnen ergibt: $ \varphi = cos^{-1} \left ( \dfrac{ -23 }{ \sqrt{ 2^2+3^2 } \cdot \sqrt{ -4^2+-5^2 }} \right ) = cos^{-1} \left ( \dfrac{ -23 }{ \sqrt{ 13 } \cdot \sqrt{ 41 }} \right ) $
$= cos^{-1} \left ( \dfrac{ -23 }{ 23.08679276123 } \right ) = cos^{-1} \left ( -0.99624058819568 \right ) \Rightarrow $

$\underline{\underline{ \varphi = 175.03025927189 ^{\circ}}} $

Graphische Darstellung:

2) Berechne den Winkel zwischen den Vektoren $ \vec{a}=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ \end{pmatrix}$ und $ \vec{b}=\begin{pmatrix} -4 \\ -5 \\ \end{pmatrix}$!

Die Lösung:
Einsetzen der Vektoren in die Formel $ \varphi = cos^{-1} \Bigg ( \dfrac{ \vec{ a } \cdot \vec{ b } }{ \vert \vec{ a } \vert \cdot \vert \vec{ b } \vert }\Bigg ) $ ergibt $ \varphi = cos^{-1} \left ( \dfrac{ \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ \end{pmatrix} }{ \left \vert \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ \end{pmatrix} \right \vert \cdot \left \vert \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ \end{pmatrix} \right \vert } \right ) $
Das Ausrechnen ergibt: $ \varphi = cos^{-1} \left ( \dfrac{ 10 }{ \sqrt{ 1^2+4^2 } \cdot \sqrt{ -2^2+3^2 }} \right ) = cos^{-1} \left ( \dfrac{ 10 }{ \sqrt{ 17 } \cdot \sqrt{ 13 }} \right ) $
$= cos^{-1} \left ( \dfrac{ 10 }{ 14.866068747319 } \right ) = cos^{-1} \left ( 0.67267279399631 \right ) \Rightarrow $

$\underline{\underline{ \varphi = 47.726310993906 ^{\circ}}} $

Graphische Darstellung:

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