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Komplexe Zahlen


   Komplexe Zahlen addieren
Wie das Addieren von komplexen Zahlen funktioniert

   Komplexe Zahlen subtrahieren
Wie du zwei komplexe Zahlen voneinander subtrahierst

   Komplexe Zahlen multiplizieren
Wie du zwei komplexe Zahlen miteinander multiplizierst

   Komplexe Zahlen dividieren
Wie du zwei komplexe Zahlen durcheinander dividierst

   Komplexe Zahlen Polarform
Wie du eine komplexe Zahl in ihre Polarform und wieder zurück umwandelst

Allgemeine Einführung


Für was werden komplexe Zahlen überhaupt benötigt? Warum genügen nicht die reellen Zahlen?

Mithilfe der Komplexen Zahlen kannst du aus negativen Zahlen die Wurzel berechnen.

Ein Beispiel:
$ x^2+1=0 \\ x^2=-1 \\ x = \pm \sqrt{-1} = \pm i $


Was ist das i?

Die allgemeine Darstellung einer komplexen Zahl sieht so aus: $ a + bi $. Dabei wird a Realteil und b (wo dahinter i steht) Imaginärteil genannt.

Beispiel:
Was ist bei folgenden komplexen Zahlen der Real- und Imaginärteil?
a) $ 2+4i $ b) $ -4-5i $ und c) $ -4i+6 $

Antwort:
zu a): Realteil: $ 2 $ und Imaginärteil $ 4 $
zu b): Realteil: $ -4 $ und Imaginärteil $ -5 $
zu c): Realteil: $ 6 $ und Imaginärteil $ -4 $ (Achtung, hier ist die Reihenfolge vertauscht!)

$ \bbox[orange,5px]{Wichtig} $ Das $i$ wird über $i^2$ definiert.
Es gilt nämlich, dass $ i^2=-1 $ und daher $ i=\sqrt{-1} $


So sieht das Symbol der Komplexen Zahlen aus:



Definition (Potenzen von i):

$ \bbox[orange,5px]{Wichtig} \ \ \ i^0=1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ i^1=i \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ i^2=-1 \\[14pt] i^3= i^2 \cdot i=-1 \cdot i = -i \\[8pt] i^4= i^2 \cdot i^2=-1 \cdot -1 = 1 \\[8pt] i^5= i^4 \cdot i=1 \cdot i = i $


Dies wiederholt sich immer in einem Rhythmus von vier. Also: $ i = i^5 = i^9 = i^{13} $


Wie man mit ihnen rechnet: (folgt)

Dies erfährst du auf folgenden Seiten:
- Komplexe Zahlen addieren
- Komplexe Zahlen subtrahieren
- Komplexe Zahlen multiplizieren
- Komplexe Zahlen dividieren
- Komplexe Zahlen Polarform

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