Primzahlen




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Definition von Primzahlen:
Primzahlen sind nur durch 1 und sich selber teilbar.

Es gibt unendlich viele Primzahlen (Satz von Euklid).

ERWEITERTES WISSEN: Beweis vom Satz von Euklid
Er erfolgt indirekt: Man nehme an es gibt nicht unendlich viele Primzahlen. Daher können wir die Primzahlen in eine Liste schreiben, also von der ersten bis zur letzten. Jetzt multiplizieren wir aber all diese Primzahlen miteinander und addieren zum Schluss noch Eins dazu. Diese Zahl darf nach unserer Annahme keine Primzahl sein (wir gehen ja davon aus, wir wissen alle). Allerdings ist diese Zahl nicht durch all diese Primzahlen teilbar (es bleibt immer 1 Rest) --> wir haben eine noch größere Primzahl gefunden --> Widerspruch zur Annahme, es gäbe nicht unendlich viele --> es gibt unendlich viele

Definition Primzahlzwillinge:
Ein Primzahlzwilling ist ein Paar aus zwei verschiedenen Primzahlen, wobei deren Abstand zwei ist. Es gibt aber eine Ausnahme: 2 und 3, hier ist der Abstand zwischen den beiden Primzahlen eins (Es ist aber der einzige Primzahlzwilling dieser Form, da ja 2 die einzige gerade Primzahl ist).
Die ersten Primzahlzwillinge sehen so aus: 3 und 5; 5 und 7; 11 und 13; 17 und 19,...
Interessant: Man weiß bis jetzt noch nicht, ob es unendlich viele Primzahlzwillinge gibt.

Um immer größere Primzahlen zu finden werden Computer verwendet. Die größte bisher gefundene Primzahl könnte man in 7 Telefonbüchern schreiben.

Online überprüfen ob eine eingegebene Zahl eine Primzahl ist:
Dies kannst du mit diesem Skript überprüfen

Nutzen von Primzahlen:
Für den praktischen Nutzen sind große Primzahlen für uns wichtig, um


ERWEITERTES WISSEN: Primzahlen bis 1000 - Übersicht
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 911 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997


ERWEITERTES WISSEN: Primzahldrilling
Die naheliegendste Definition eines Primzahldrillings wäre: p, p+2, p+4.
Davon gibt es jedoch nur das Tripel (3, 5, 7), da bei drei aufeinanderfolgenden, ungeraden Zahlen immer eine davon drei teilt.
Deshalb hat man sich auf folgende Definition geeinigt: p, p+2, p+6.
Die ersten Primzahldrillinge dieser Form sehen wie folgt aus: (5, 7, 11), (7, 11, 13), (11, 13, 17)


ERWEITERTES WISSEN: Diese Menschen haben Primzahlen mit ..... Stellen gefunden
Jahr        Wieviele Stellen        Name der Person, die die Zahl gefunden hat       
1772 10 Leonhard Euler
1876 39 Edouard Lucas
1957 969 Hans Riesel
1971 6002 Bryant Tuckermann
1982 25062 David Slowinski
2006 9808358 Curtis Cooper und Steven Boone


ERWEITERTES WISSEN: Dirichlet'scher Primzahlsatz
Er besagt, dass es unendlich viele Primzahlen der Gestalt ax+b gibt, falls ggt(a,b)=1 ist
(x ist eine beliebige natürliche Zahl)

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