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Dodekaeder Formeln und Eigenschaften

Was ist ein Dodekaeder?

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Ein Dodekaeder ist ein Körper, welcher als Begrenzungsflächen 12 regelmäßige Fünfecke hat.

Welche Formeln gibt es zu einem Dodekaeder?

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Standardformeln:
Oberfläche: $ 3a^2 \cdot \sqrt{25+10 \cdot \sqrt{5}} \\[6pt] $
Volumen: $ \dfrac{a^3 \cdot (15 + 7 \cdot \sqrt{5} ) }{4} $

Erweiterte Formeln:
Umkugelradius: $ \dfrac{a}{4} \sqrt{3} \left( 1 + \sqrt{5} \right) $
Inkugelradius: $ \dfrac{a}{2} \sqrt{\frac{25 + 11 \sqrt{5}}{10}} $

Erklärungen zu den verwendeten Variablen weiter unten.

Bild:

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Weitere Informationen: [Bearbeiten] [Versionsgeschichte]

Kanten / Eckpunkte / Flächen:

Kanten: 30
Eckpunkte: 20
Flächen: 12

Infos zu den Variablen:

$ a $ ist die Seitenlänge des Dodekaeders (von der Grundfläche des regelmäßigen Fünfecks)
$O$ ist die Oberfläche des Dodekaeders
$V$ ist das Volumen des Dodekaeders

Externe Links:

Interessantes:

Er ist ein Platonischer Körper. Insgesamt gibt es fünf Platonische Körper (Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder).

Euler'sche Polyederformel:
Bei allen platonischen Körpern gibt es einen Zusammenhang zwischen den Eckpunkten, Flächen und Kanten: $ \text{Eckpunkte}+\text{Flächen} = \text{Kanten}+2 $. Beim Dodekaeder bestätigt sich diese Formel, da $20+12=30+2$ ist.

Überblick: Flächenformeln --- Raumformeln

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