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Ikosaeder Formeln und Eigenschaften

Was ist ein Ikosaeder?

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EIn Ikosaeder ist ein Körper, welcher 20 gleichseitige Dreiecke als Begrenzungsflächen hat.

Welche Formeln gibt es zu einem Ikosaeder?

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Oberfläche von dem Ikosaeder: $O=5 \cdot a^2 \cdot \sqrt{3} \\[6pt] $
Volumen von dem Ikosaeder: $ V=\dfrac{5 \cdot a^3 \cdot (3 + \sqrt{5})}{12}$

Umkugelradius: $ \dfrac{a}{4} \cdot \sqrt{10 + 2 \cdot \sqrt{5}} \\[6pt] $
Inkugelradius: $ \dfrac{a}{12} \cdot \sqrt{3} \cdot (3 + \sqrt{5}) $

Erklärungen zu den verwendeten Variablen weiter unten.

Bild:

Scrolle nach rechts für das ganze Bild

Weitere Informationen: [Bearbeiten] [Versionsgeschichte]

Kanten / Eckpunkte / Flächen:

Kanten: 30
Eckpunkte: 12
Flächen: 20

Infos zu den Variablen:

$a$ ist die Seitenlänge des Ikosaeders (von der Grundfläche des gleichseitigen Dreiecks)
$O$ ist die Oberfläche des Ikosaeders
$V$ ist das Volumen des Ikosaeders

Mit einigen komplizierten Rechnungen kann man, sich die obigen Formeln herleiten.

Interessantes:

Es existieren 43380 verschiedene Arten einen Ikosaeder zu konstruieren. Generell lässt sich sagen, dass ein Ikosaeder ein Platonischer Körper ist. Dabei gibt es insgesamt fünf platonische Körper (Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder).

Euler'sche Polyederformel:
Bei allen platonischen Körpern gibt es einen Zusammenhang zwischen den Eckpunkten, Flächen und Kanten: $ \text{Eckpunkte}+\text{Flächen} = \text{Kanten}+2 $. Beim Ikosaeder bestätigt sich diese Formel, da $12+20=30+2$ ist.

Überblick: Flächenformeln --- Raumformeln

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