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Deltoid Flächeninhalt

3.Klasse (Österreichischer Schulplan)


Den Flächeninhalt eines Deltoids bestimmst du mit folgenden Formeln:
$ A = \dfrac { e \cdot f }{2} $

Erklärung: Um den Flächeninhalt zu berechnen, multiplizierst du die beiden Diagonallängen miteinander und dividierst dann das Ergebnis durch $2$.

Hinweis: Diese Formel gilt für alle Vierecke, bei denen die Diagonalen im rechten Winkel stehen.


Herleitung der Formel:

Schritt 1: Zeichne ein Deltoid.


Schritt 2: Die jeweiligen Dreiecke auf der rechten Seite können mit den Dreiecken auf der linken Seite zu einem Rechteck ergänzt werden.


Schritt 3: Der Flächeninhalt des Rechtecks kann mit der Formel $ A = a \cdot b $ berechnet werden. Also: $ A = 0.5f \cdot e = \dfrac{ e \cdot f }{2} $



Beispiele
1) Von einem Deltoid sind beide Diagonallängen bekannt. Berechne den Flächeninhalt!

a) $e=5 \ cm$ und $f=7 \ cm$

Lösung:
Einsetzen in die Formel $ A = \dfrac { e \cdot f }{2} $ ergibt $ A = \dfrac { 5 \cdot 7 }{2} = \dfrac { 35 }{2} = \underline{\underline{ 17.5 \ cm^2 }} $


b) $e=2 \ cm$ und $f=4 \ cm$

Lösung:
Einsetzen in die Formel $ A = \dfrac { e \cdot f }{2} $ ergibt $ A = \dfrac { 2 \cdot 4 }{2} = \dfrac { 8 }{2} = \underline{\underline{ 4 \ cm^2 }} $



2) Von einem Deltoid ist der Flächeninhalt sowie eine Diagonale bekannt. Berechne die Länge der anderen Diagonale!

a) Bekannt ist: $ A=70 \ cm^2 $ und $ e=10 \ cm $. Berechne $f$!

Lösung:
Umformen der Formel $ A = \dfrac { e \cdot f }{2} $ nach $f$:
$ A = \dfrac { e \cdot f }{2} \ \mid \cdot \ 2 \Leftrightarrow 2A=e \cdot f \ \mid \div \ e \Leftrightarrow f=\dfrac{2A}{e} $
Einsetzen der Werte in diese Formel: $ f=\dfrac{ 2 \cdot 70 }{ 10 } = \dfrac{ 140 }{ 7 } = \underline{\underline{ 14 \ cm }}$


b) Bekannt ist: $ A=64 \ cm^2 $ und $ f=16 \ cm $. Berechne $e$!

Lösung:
Umformen der Formel $ A = \dfrac { e \cdot f }{2} $ nach $e$:
$ A = \dfrac { e \cdot f }{2} \ \mid \cdot \ 2 \Leftrightarrow 2A=e \cdot f \ \mid \div \ f \Leftrightarrow e=\dfrac{2A}{f} $
Einsetzen der Werte in diese Formel: $ e=\dfrac{ 2 \cdot 64 }{ 16 } = \dfrac{ 128 }{ 16 } = \underline{\underline{ 8 \ cm }}$
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