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Matrizen subtrahieren

Exkurs (Lineare Algebra)


Information

Auf dieser Seite erklären wir dir, wie du zwei Matrizen voneinander subtrahierst und welche Voraussetzungen dafür überhaupt erfüllt sein müssen.


Voraussetzungen

Damit du zwei Matrizen subtrahieren darfst, muss die Zeilenzahl sowie die Spaltenzahl der beiden Matrizen übereinstimmen. Das heißt soviel, dass die beiden Matrizen dieselbe Größe (d.h. gleich viele Zeilen und gleich viele Spalten) haben müssen.

Beispiel 1: Kann man die Matrizen A und B subtrahieren?
$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & -4 \\ 6 & 4.9 \end{pmatrix} $ und $ B = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ -2 & 4 & 0 \\ -3 & 2 & 4.1 \end{pmatrix} $

--> Eine Subtraktion ist nicht möglich, da die Matrix $A$ 2 Spalten und die Matrix $B$ 3 Spalten besitzt.


Beispiel 2: Kann man die Matrizen A und B subtrahieren?
$ A = \begin{pmatrix} 12 & -4.8 & 0 \\ 1 & -2 & 4 \\ 8 & -3 & -4 \end{pmatrix} $ und $ B = \begin{pmatrix} 5 & 1 & -4.7 \\ -3.5 & 1 & 2.4 \\ -3 & 4.3 & -7 \end{pmatrix} $

--> Eine Subtraktion ist möglich, da die Matrizen dieselbe Größe haben.


Anleitung

Matrizen subtrahierst du, indem du die einzelnen Einträge der beiden Matrizen voneinander abziehst. Schau dir hierfür am besten folgendes Beispiel an und präge es dir ein:

$ A = \begin{pmatrix} \color{red}{a_{11}} & \color{blue}{a_{12}} \\ \color{green}{a_{21}} & \color{orange}{a_{22}} \end{pmatrix} $ und $ B = \begin{pmatrix} \color{red}{b_{11}} & \color{blue}{b_{12}} \\ \color{green}{b_{21}} & \color{orange}{b_{22}} \end{pmatrix} $

Die Differenz ergibt sich nun durch:
$\begin{pmatrix} \color{red}{a_{11}} & \color{blue}{a_{12}} \\ \color{green}{a_{21}} & \color{orange}{a_{22}} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \color{red}{b_{11}} & \color{blue}{b_{12}} \\ \color{green}{b_{21}} & \color{orange}{b_{22}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{red}{a_{11}} - \color{red}{b_{11}} & \color{blue}{a_{12}} - \color{blue}{b_{12}} \\ \color{green}{a_{21}} - \color{green}{b_{21}} & \color{orange}{a_{22}} - \color{orange}{b_{22}} \end{pmatrix} $

Die Subtraktion bei Matrizen mit mehr Zeilen / Spalten funktioniert genau gleich. Schau dir jetzt am besten die folgenden durchgerechneten Beispiele an.


Durchgerechnete Beispiele

Subtrahiere die Matrizen $ A = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 6 & -1 \end{pmatrix} $ und $ B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} $.

Die Lösung:
$\begin{pmatrix} \color{red}{4} & \color{blue}{-5} \\ \color{green}{6} & \color{orange}{-1} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{blue}{-2} \\ \color{green}{0} & \color{orange}{-3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{red}{4} - \color{red}{1} & \color{blue}{-5} - \color{blue}{(-2)} \\ \color{green}{6} - \color{green}{0} & \color{orange}{-1} - \color{orange}{(-3)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -3 \\ 6 & 2 \end{pmatrix}$


Subtrahiere die Matrizen $ A = \begin{pmatrix} 1.3 & -2.7 \\ -6 & 4 \\ -3 & 7 \end{pmatrix} $ und $ B = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 4 & -1 \\ 0 & 9.8 \end{pmatrix} $.

Die Lösung:
$\begin{pmatrix} \color{red}{1.3} & \color{blue}{-2.7} \\ \color{green}{-6} & \color{orange}{4} \\ \color{purple}{-3} & \color{lightblue}{7} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \color{red}{-3} & \color{blue}{2} \\ \color{green}{4} & \color{orange}{-1} \\ \color{purple}{0} & \color{lightblue}{9.8} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{red}{1.3} - \color{red}{(-3)} & \color{blue}{-2.7} - \color{blue}{2} \\ \color{green}{-6} - \color{green}{4} & \color{orange}{4} - \color{orange}{(-1)} \\ \color{purple}{-3} - \color{purple}{0} & \color{lightblue}{7} - \color{lightblue}{9.8} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4.3 & -4.7 \\ -10 & 5 \\ -3 & -2.8 \end{pmatrix}$



Rechenregeln für die Subtraktion von Matrizen

Für die Subtraktion zweier Matrizen gilt das Assoziativgesetz, das Distributivgesetz als auch folgender Zusammenhang bezüglich der transponierten Matrix:

1. Assoziativgesetz: $ \color{red}{A} - (\color{blue}{B} - \color{orange}{C}) = (\color{red}{A} - \color{blue}{B}) - \color{orange}{C} $
2. Distributivgesetze: $ (\color{red}{A} - \color{blue}{B}) \cdot \color{orange}{C} = \color{red}{A} \cdot \color{orange}{C} - \color{blue}{B} \cdot \color{orange}{C} $ sowie $ \color{red}{A} \cdot (\color{blue}{B} - \color{orange}{C}) = \color{red}{A} \cdot \color{blue}{B} - \color{red}{A} \cdot \color{orange}{C} $
3. Zusammenhang bezüglich transponierter Matrix: $ (\color{red}{A} - \color{blue}{B})^{T} = \color{red}{A}^{T}-\color{blue}{B}^{T} $



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