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Vektoren orthogonal

5.Klasse (Österreichischer Schulplan)



Definition:
Zwei Vektoren stehen orthogonal aufeinander, falls die beiden Vektoren einen rechten Winkel einschließen.

Beispiel:



Wie überprüfst du ob zwei Vektoren orthogonal aufeinander stehen?
Berechne das Skalarprodukt von den beiden Vektoren.
Ergibt das Skalarprodukt 0, so stehen die beiden Vektoren im rechten Winkel aufeinander.

Beispiel:
Stehen die Vektoren $ \vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ \end{pmatrix}$ und $ \vec{b} = \begin{pmatrix} 10 \\ -8 \\ \end{pmatrix}$ im rechten Winkel aufeinander?

Lösung
$ \vec{a} \cdot \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 10 \\ -8 \\ \end{pmatrix} = 4 \cdot 10 + 5 \cdot (-8) = 40 + (-40) = 0$
Da das Skalarprodukt 0 ist, stehen die Vektoren $ \vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ \end{pmatrix} $ und $ \vec{b} = \begin{pmatrix} 10 \\ -8 \\ \end{pmatrix}$ im rechten Winkel aufeinander.


Wie bestimmst du zu einem gegebenen Vektor einen Normalvektor?
Zu einem Vektor gibt es immer zwei dazugehörige normale Vektoren:

Für den linksgedrehten Normalvektor vertauscht du die x-Koordinate mit der y-Koordinate und änderst dann das Vorzeichen der x-Koordinate.
Als Formel: Der Vektor $ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \end{pmatrix}$ wird zu $ \begin{pmatrix} -a_2 \\ a_1 \\ \end{pmatrix}$.

Für den rechtsgedrehten Normalvektor vertauscht du die x-Koordinate mit der y-Koordinate und änderst dann das Vorzeichen der y-Koordinate.
Als Formel: Der Vektor $ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \end{pmatrix}$ wird zu $ \begin{pmatrix} a_2 \\ -a_1 \\ \end{pmatrix}$.

Beispiel:
Bestimme einen orthogonalen Vektor zu $ \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ \end{pmatrix}$

Lösung
Das Vertauschen der Koordinaten und Verändern des Vorzeichens der x-Koordinate ergibt $ \vec{a_{L}} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ \end{pmatrix}$



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