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Sätze von Vieta

5.Klasse (Österreichischer Schulplan)


Satz:

Es seien $\color{red}{p}$ und $\color{blue}{q}$ die Koeffizienten der quadratischen Gleichung $x^2+\color{red}{p}x+\color{blue}{q}=0$ und $x_1$ und $x_2$ die beiden Lösungen. Dann gelten folgende Beziehungen:

1.    $- \color{red}{p}=x_{1}+x_{2}$
2.    $\color{blue}{q}=x_{1} \cdot x_{2}$
3.    $x^2+\color{red}{p}x+\color{blue}{q}=(x-x_{1})\cdot(x-x_{2})$

Hinweis: Versuche dir durch die Farben die Formeln zu merken!


Beispiele:
1. Eine quadratische Gleichung hat die Lösungen $x_{1}=2$ und $x_{2}=8$. Wie lautet die dazugehörige quadratische Gleichung?

Einsetzen in $(x-x_{1})\cdot(x-x_{2})$ ergibt $(x-2)\cdot(x-8)$. Durch Ausmultiplizieren erhält man: $x^2-10x+16$. Die dazugehörige Gleichung lautet also $x^2-10x+16$.


2. Eine quadratische Gleichung hat die Lösungen $x_{1}=-4$ und $x_{2}=-3$. Wie lautet die dazugehörige quadratische Gleichung?

Einsetzen in $(x-x_{1})\cdot(x-x_{2})$ ergibt $(x-(-4))\cdot(x-(-3))$ = $(x+4)\cdot(x+3)$. Durch Ausmultiplizieren erhält man: $x^2+7x+12$. Die dazugehörige Gleichung lautet also $x^2+7x+12$.


3. Die quadratische Gleichung $ x^2+x-2 $ besitzt zwei ganzzahlige Lösungen! Finde sie, indem du die Sätze von Vieta anwendest!

Bei diesem Beispiel ist $ \color{red}{p} = 1 $ und $ \color{blue}{q} = -2 $.
Einsetzen in den Satz von Vieta ergibt:

$-\color{red}{1}=x_{1}+x_{2} \\[6pt]-\color{blue}{2}=x_{1} \cdot x_{2} $

Wenn du die beiden Lösungen miteinander multiplizierst, kommt $ -2 $ heraus. Da die beiden Lösungen ganzzahlig sein müssen, gibt es nur eine Variante: $ x_1=1 $ und $ x_2=-2 $. Einsetzen in die erste Gleichung bestätigt die Richtigkeit: $ -1 = 1 + (-2) \Leftrightarrow -1 =-1 $.

Die Gleichung besitzt somit die Lösungen $ x_1 = 1 $ und $x_2=-2 $



Exkurs: Nicht für die Schule relevant!

Der Satz von Vieta gilt auch für Gleichungen höherer Ordnung!

So gilt der Satz von Vieta beispielsweise für eine kubische Gleichung der Form $x^3+\color{red}ax^2+\color{blue}bx+\color{orange}c$, welche die Lösungen $x_1$, $x_2$ und $x_3$ besitzt:

1.    $ -\color{red}a=x_1+x_2+x_3 $
2.    $ \color{blue}b=x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + x_2 \cdot x_3 $
3.    $ -\color{orange}c=x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 $
4.    $x^3+\color{red}ax^2+\color{blue}bx+\color{orange}c = (x-x_1) \cdot (x-x_2) \cdot (x-x_3)$

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