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Inverse Matrix

Exkurs (Lineare Algebra)


Information

Auf dieser Seite erklären wir dir, was die inverse Matrix ist und wie du sie bestimmst. Um diesen Artikel zu verstehen, lies dir am besten vorher die Artikel "Matrixmultiplikation" sowie "Gauß-Verfahren" genau durch!


Definition der inversen Matrix $A^{-1}$


Wenn du eine Matrix $A$ mit ihrer inversen Matrix $A^{-1}$ multiplizierst, erhältst du die Einheitsmatrix.

Die Einheitsmatrix ist also jene Matrix, welche die Gleichung $$ A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I $$ erfüllt.

Beispiel:
Die Matrizen $ A = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} $ und $ A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ \frac{-1}{2} & 1 \end{pmatrix} $ sind invers zueinander.

Begründung:
$A \cdot A^{-1}$ = $ \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & -3 \\ \frac{-1}{2} & 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2 \cdot 2 + 6 \cdot \frac{(-1)}{2} & 2 \cdot (-3) + 6 \cdot 1 \\ 1 \cdot 2 + 4 \cdot \frac{(-1)}{2} & 1 \cdot (-3) + 4 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$
Die Matrix $A^{-1}$ ist somit die inverse Matrix zu $A$.


Rechenregeln für die inverse Matrix

Für die inverse Matrix gelten die folgenden Rechenregeln:

$\left(\color{red}{A}^{-1}\right)^{-1}=\color{red}{A}$Wenn du die inverse Matrix der inversen Matrix berechnest, erhältst du wieder die Ausgangsmatrix.
$(\color{red}{A} \cdot \color{blue}{B})^{-1}=\color{blue}{B}^{-1} \cdot \color{red}{A}^{-1}$Ob du zwei Matrizen multiplizierst und dann die inverse Matrix berechnest oder ob du die inverse Matrix von $B$ berechnest, dann die inverse Matrix von $A$ und schließlich die Inversen multiplizierst läuft auf dasselbe heraus.
$\left(\color{red}{A}^{k}\right)^{-1}=\left(\color{red}{A}^{-1}\right)^{k}$ mit $k \in \mathbb{N}$Wenn du die Potenz einer Matrix invertierst, kannst du auch zuerst die Matrix invertieren und dann die Potenz bilden. Das Ergebnis ist dasselbe.
$(\color{green}{c} \cdot \color{red}{B})^{-1}=\color{green}{c}^{-1} \cdot \color{red}{A}^{-1}$Wenn du eine Matrix mit einem Skalar multiplizierst und das Ergebnis anschließend invertierst, kannst du das Skalar als auch die Matrix invertieren und diese anschließend multiplizieren.

$\left(\color{red}{A}^{T}\right)^{-1}=\left(\color{red}{A}^{-1}\right)^{T}$Ob du zuerst die transponierte Matrix berechnest und anschließend invertierst oder ob du zuerst invertierst und dann transponierst ist vollkommen egal.
$\text{rang}(\color{red}{A})=\text{rang}(\color{red}{A}^{-1})$Der Rang der ursprünglichen Matrix ist gleich dem Rang der inversen Matrix.
$\text{det}(\color{red}{A}^{-1})=(\text{det}(\color{red}{A}))^{-1}$Die Determinante der inversen Matrix ist gleich der Inversen der Determinante der ursprünglichen Matrix.



Berechnung der inversen Matrix mit Gauß-Jordan




Spezielle Matrizen, die über die inverse Matrix charakterisiert sind


selbstinverse Matrix$A^{-1}=A$Falls die inverse Matrix gleich der ursprünglichen Matrix ist, dann wird die Matrix selbstinvers genannt.
orthogonale Matrix$A^{-1}=A^{T}$Falls die inverse Matrix gleich der transponierten Matrix ist, dann wird die Matrix orthogonal genannt.
unitäre Matrix$A^{-1}=A^{H}$Falls die inverse Matrix gleich der adjungierten Matrix ist, dann wird die Matrix unitär genannt.



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