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Symmetrie - Achsensymmetrie und Punktsymmetrie

7.Klasse (Österreichischer Schulplan)


Information:
Auf dieser Seite erklären wir dir, wie der Begriff Symmetrie definiert ist und wie du einen rechnerischen Nachweis für die Symmetrie einer Funktion erbringst.

Inhaltsverzeichnis:




Definition:


Grundsätzlich unterscheiden wir bei Funktionen zwei Arten der Symmetrie: Die Punktsymmetrie sowie die Achsensymmetrie.

  • Achsensymmetrie: Die Funktion ist zu einer Achse symmetrisch.

  • Punktymmetrie: Die Funktion ist zu einem Punkt symmetrisch. So sind hier in dem Beispiel die negativen Funktionswerte gleich weit von dem Nullpunkt entfernt wie die positiven Funktionswerte.


Du weißt nun, was Symmetrie ist, wie du sie bei Funktionen erkennen kannst und weißt zusätzlich worin sich Punktsymmetrie und Achsensymmetrie unterscheiden.

Das reicht jedoch (leider) nicht aus, denn bei Schulaufgaben ist oftmals ein rechnerischer Nachweis für Punktsymmetrie sowie Achsensymmetrie notwendig. Das ist jedoch gar nicht so schwer, wenn du dich an unsere Formeln hältst!


Rechnerischer Nachweis für Achsensymmetrie:


Ist eine Funktion achsensymmetrisch, so muss sie die Bedingung $\color{red}{f(a-x)=f(a+x)}$ erfüllen. Dabei ist $a$ der $x$-Wert der Achse, zu der die Funktion achsensymmetrisch sein soll. Handelt es sich also um die $y$-Achse, so kann die Formel zu $\color{red}{f(-x)=f(x)}$ umgeformt werden.

Wenn du also überprüfen möchtest, ob eine Funktion achsensymmetrisch ist, so musst du nichts anderes tun, als $f(a-x)$ und $f(a+x)$ auszurechnen. Wenn dasselbe rauskommt, ist die Funktion achsensymmetrisch.


Durchgerechnete Beispiele:
Ist die Funktion $f(x)=x^2$ achsensymmetrisch zur y-Achse?
Hinweis: Durch Zeichnen der Funktion erkennen wir, dass wenn die Funktion symmetrisch ist, sie bezüglich der y-Achse achsensymmetrisch sein muss. Deshalb setzen wir $a=0$.

Ja, die Funktion ist achsensymmetrisch, da
  • $f(\color{red}{0+x})=(\color{red}{0+x})^2=(x)^2=x^2$
  • $f(\color{red}{0-x})=(\color{red}{0-x})^2=(-x)^2=x^2$
Da bei beiden Rechnungen dasselbe rausgekommen ist, ist die Funktion achsensymmetrisch.



Ist die Funktion $f(x)=x^3+2x^2+2x+1$ achsensymmetrisch zur Achse bei $a=-0.5$?

Zuerst zeichnen wir die Funktion:

Kannst du schon erkennen, ob die Funktion achsensymmetrisch ist?

$f(x)$ lässt sich im Übrigen umformen. So gilt, dass $f(x)=x^3+2x^2+2x+1=(x+1)^3$ ist. Dies macht uns das Rechnen erheblich einfacher.

Die Funktion ist nicht achsensymmetrisch, da
  • $f(\color{red}{-0.5+x})=(\color{red}{-0.5+1+x})^2=(0.5+x)^3=x^3+1.5x^2+0.75x+0.125$
  • $f(\color{red}{-0.5-x})=(\color{red}{-0.5+1-x})^2=(0.5-x)^3=-x^3+1.5x^2-0.75x+0.125$
Da bei beiden Rechnungen nicht dasselbe rausgekommen ist (andere Vorzeichen), ist die Funktion nicht achsensymmetrisch.


Rechnerischer Nachweis für Punktsymmetrie:


Ist eine Funktion punktsymmetrisch, so muss sie die Bedingung $\color{red}{f(a+x)-b=-f(a-x)+b}$ erfüllen. Dabei ist $(a/b)$ der Punkt, zu der die Funktion punktsymmetrisch sein soll. Soll also nachgerechnet werden, ob eine Funktion zum Ursprung punktsymmetrisch ist, so kann die Formel zu $\color{red}{f(x)=-f(-x)}$ umgeformt werden.

Wenn du also überprüfen möchtest, ob eine Funktion punktsymmetrisch ist, so musst du nichts anderes tun, als $\color{red}{f(a+x)-b}$ und $\color{red}{-f(a-x)+b}$ auszurechnen. Wenn dasselbe rauskommt, ist die Funktion punktsymmetrisch.


Durchgerechnetes Beispiel:
Ist die Funktion $f(x)=x^3$ punktsymmetrisch zum Nullpunkt?

Ja, die Funktion ist punktsymmetrisch, da
  • $f(\color{red}{0+x})-0=\color{red}{(0+x)}^3+0=x^3$
  • $-f(\color{red}{0-x})+0=-(\color{red}{-x})^3=x^3$
Da bei beiden Rechnungen dasselbe rausgekommen ist, ist die Funktion punktsymmetrisch.


Zusammenfassung


Symmetrieart Was nachrechnen?
Achsensymmetrie bezüglich y-Achse $ f(x)=f(-x) $
Achsensymmetrie bezüglich allgemeiner Achse $ f(a-x)=f(a+x) $
Punktsymmetrie bezüglich Nullpunkt $ f(x)=-f(-x) $
Achsensymmetrie bezüglich allgemeinem Punkt $ f(a+x)-b=-f(a-x)+b $




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