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Komplexe Zahlen addieren

7.Klasse (Österreichischer Schulplan)



Information:

Auf dieser Seite erklären wir dir, wie du zwei komplexe Zahlen addierst.

Um diesen Artikel bestmöglich zu verstehen, solltest du bereits wissen, was komplexe Zahlen überhaupt sind. Falls du das nicht weißt, kannst du es hier nochmal nachlesen.


Definition:

Die Addition von zwei komplexen Zahlen $\color{red}{z_1=a_1+b_1i}$ und $\color{blue}{z_2=a_2+b_2i}$ ist folgendermaßen definiert:

$\color{red}{z_1}+\color{blue}{z_2}=(\color{red}{a_1}+\color{blue}{a_2})+i \cdot (\color{red}{b_1}+\color{blue}{b_2})$

Die Addition erfolgt also komponentenweise. Du addierst zuerst die beiden Realteile von den beiden komplexen Zahlen und als nächstes die beiden Imaginärteile. Schau dir die folgenden Beispiele an, um die Addition von komplexen Zahlen bestmöglich zu verstehen.

Beispiele:

$ (\color{red}{2+3i}) + (\color{blue}{5-4i}) = (\color{red}{2}+\color{blue}{5}) + (\color{red}{3i}\color{blue}{-4i}) = 7 - 1i \\[8pt] (\color{red}{-4+3i}) + (\color{blue}{2+2i}) = (\color{red}{-4}+\color{blue}{2}) + (\color{red}{3i} + \color{blue}{2i}) = -2 + 5i \\[8pt] (\color{red}{-1+5i}) + (\color{blue}{-1-4i}) = (\color{red}{-1}\color{blue}{-1}) + (\color{red}{5i} \color{blue}{-4i}) = -2 + 1i \\[8pt] (\color{red}{3i}) + (\color{blue}{-3+0.5i}) = (\color{red}{0}\color{blue}{-3}) + (\color{red}{3i} + \color{blue}{0.5i}) = -3 + 3.5i \\[8pt] (\color{red}{-8-1i}) + (\color{blue}{0.7+2i}) = (\color{red}{-8} + \color{blue}{0.7}) + (\color{red}{-1i} + \color{blue}{2i}) = -7.3 + 1i \\[8pt] $

Hinweis: Statt $1i$ schreibst du oftmals auch nur $i$. Nur damit du nicht verwirrt bist, falls dir $i$ unterkommt.


Rechner:
Addiere zwei komplexe Zahlen online

Gib hier zwei komplexe Zahlen ein. Diese werden dann samt Zwischenschritten mithilfe dieses Rechners addiert.

1.Komplexe Zahl:
2.Komplexe Zahl:

 


Graphische Addition von komplexen Zahlen:
Komplexe Zahlen können in der Gauß'schen Zahlenebene dargestellt werden und entsprechen somit Vektoren. Diese können entsprechend der Regeln der graphischen Vektoraddition addiert werden.

Beispiel
Addiere die komplexen Zahlen $ z_1 = 2+3i $ und $z_2 = 4+i$.

Die Lösung:
Die komplexe Zahl $z_1$ entspricht dem Vektor $ \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ \end{pmatrix} $ und die komplexe Zahl $z_2$ dem Vektor $ \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ \end{pmatrix} $. Die beiden Vektoren addieren wir nun graphisch:


Wir lesen die Koordinaten des Ergebnisvektors ab: Es ergibt sich der Vektor $ \vec{s}=\begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ \end{pmatrix} $, welcher der komplexen Zahl $ 6+4i $ entspricht.

Rechnerisch ergibt sich dasselbe:
$(\color{red}{2+3i}) + (\color{blue}{4+i}) = (\color{red}{2} + \color{blue}{4}) + (\color{red}{3i} + \color{blue}{i}) = 6 + 4i \\[8pt] $


Rechengesetze, die gelten:

Assoziativgesetz:
$ x + (y + z) = (x+y) +z $

Beispiel: $ (2+3i) + ((2+4i) + (4-6i)) = ((2+3i) + (2+4i)) + (4-6i) $

Kommutativgesetz
$a+b = b+a$

Beispiel: $(3-5i) + (6-i) = (6-i) + (3-5i)$

Abgeschlossenheit
Wenn du zwei komplexe Zahlen addierst, kommt stets wieder eine komplexe Zahl heraus.



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