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Komplexe Zahlen multiplizieren

7.Klasse (Österreichischer Schulplan)

7.Klasse // Komplexe Zahlen // Komplexe Zahlen multiplizieren

Information:

Auf dieser Seite erklären wir dir, wie du zwei komplexe Zahlen miteinander multiplizierst.

Um diesen Artikel bestmöglich zu verstehen, solltest du bereits wissen, was komplexe Zahlen überhaupt sind. Außerdem solltest du wissen, wie das Addieren sowie das Subtrahieren von komplexen Zahlen funktioniert. Falls du das nicht weißt, findest du unter den folgenden Links Erklärungen dazu.


Definition:

Die Multiplikation von zwei komplexen Zahlen $\color{red}{z_1=a_1+b_1i}$ und $\color{blue}{z_2=a_2+b_2i}$ ist folgendermaßen definiert:

$(\color{red}{a_1+b_1i}) \cdot (\color{blue}{a_2+b_2i}) = \\[8pt] \color{red}{a_1} \cdot \color{blue}{a_2} + \color{red}{a_1} \cdot \color{blue}{b_2i} + \color{red}{b_1i} \cdot \color{blue}{a_2} + \color{red}{b_1i} \cdot \color{blue}{b_2i} \overset{\text{es gilt: $i^2=1$}}{{=}} \\[8pt] \underline{\underline{( \color{red}{a_1} \cdot \color{blue}{a_2} - \color{red}{b_1} \cdot \color{blue}{b_2} ) + ( \color{red}{a_1} \cdot \color{blue}{b_2} + \color{red}{b_1} \cdot \color{blue}{a_2} ) i}}$

Du musst dir die Formel nicht auswendig merken!
Denn das Multiplizieren von komplexen Zahlen funktioniert gleich wie das Ausmultiplizieren von Binomen. Im Hinterkopf solltest du aber haben, dass $i^2=-1$ ist. Auf der folgenden Abbildung haben wir für dich dieses Prinzip nochmal veranschaulicht:



Weitere Beispiele:

$ (\color{red}{3+2i}) \cdot (\color{blue}{4+5i}) = \color{red}{3} \cdot \color{blue}{4} + \color{red}{3} \cdot \color{blue}{5i} + \color{red}{2i} \cdot \color{blue}{4} + \color{red}{2i} \cdot \color{blue}{5i} = ( 12 - 10 ) + ( 15 + 8 ) i = \mathbf{2 + 23i} \\[8pt] (\color{red}{-2+i}) \cdot (\color{blue}{6-5i}) = (\color{red}{-2}) \cdot \color{blue}{6} + (\color{red}{-2}) \cdot (\color{blue}{-5i}) + \color{red}{i} \cdot \color{blue}{6} + \color{red}{i} \cdot (\color{blue}{-5i}) = ( -12 - (-5) ) + ( 10 + 6 ) i = \mathbf{-7 + 16i} \\[8pt] (\color{red}{-7+3i}) \cdot (\color{blue}{-4-7i}) = (\color{red}{-7}) \cdot (\color{blue}{-4}) + (\color{red}{-7}) \cdot (\color{blue}{-7i}) + \color{red}{3i} \cdot (\color{blue}{-4}) + \color{red}{3i} \cdot (\color{blue}{-7i}) = ( 28 + 21 ) + ( 49 - 12 ) i = \mathbf{49 + 37i} $

Hinweis: Statt $1i$ schreibst du oftmals auch nur $i$. Nur damit du nicht verwirrt bist, falls dir $i$ unterkommt.


Rechner:
Multipliziere zwei komplexe Zahlen online

Gib hier zwei komplexe Zahlen ein. Diese werden dann samt Zwischenschritten mithilfe dieses Rechners multipliziert.

1.Komplexe Zahl:
2.Komplexe Zahl:

 


Rechengesetze, die gelten:

Assoziativgesetz:
$ x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z $

Beispiel: $ (2+3i) \cdot ((2+4i) \cdot (4-6i)) = ((2+3i) \cdot (2+4i)) \cdot (4-6i) $

Kommutativgesetz
$a \cdot b = b \cdot a$

Beispiel: $(3-5i) \cdot (6-i) = (6-i) \cdot (3-5i)$

Distributivgesetz
$a \cdot (b \pm c) = a \cdot b \pm a \cdot c$ und $(a \pm b) \cdot c = a \cdot c \pm b \cdot c$

Beispiel: $(2+3i) \cdot ((5-7i) \pm (-2+6i)) = (2+3i) \cdot (5-7i) \pm (2+3i) \cdot (-2+6i)$

Abgeschlossenheit
Wenn du zwei komplexe Zahlen miteinander multiplizierst, kommt stets wieder eine komplexe Zahl heraus.



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