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Pythagoräische Tripel

3.Klasse (Österreichischer Schulplan)


Definition:
Drei natürliche Zahlen $a$, $b$ und $c$ heißen Pythagoräisches Tripel, wenn gilt: $ a^2+b^2=c^2 $


Beispiele für Pythagoräische Tripel:
$a=3$, $b=4$, $c=5$ --> $ 3^2+4^2=5^2 $
$a=7$, $b=24$, $c=25$ --> $ 7^2+24^2=25^2 $
$a=5$, $b=12$, $c=13$ --> $ 5^2+12^2=13^2 $
$a=8$, $b=15$, $c=17$ --> $ 8^2+15^2=17^2 $
$a=9$, $b=40$, $c=41$ --> $ 9^2+40^2=41^2 $

Typische Beispiele:
1) Von einem Pythagoräischen Tripel sind die Werte $a=6$ und $c=10$ gegeben. Berechne $b$!

Lösung:
Einsetzen in die Formel $ a^2+b^2=c^2 $ ergibt $ 6^2+b^2=10^2 $.

Umformen:
$ 36 +b^2 =100 \Leftrightarrow \\[10pt] 36 +b^2 =100 \ \mid -36 \Leftrightarrow \\[10pt] b^2=64 \ \mid \sqrt{} \ \Leftrightarrow \\[10pt] \underline{\underline{b=8}}$


2) Begründe, warum es nur ein einziges pythagoräisches Tripel mit drei aufeinanderfolgenden Werten gibt!

Lösung:
Das pythagoräische Tripel muss die Gleichung $ a^2+(a+1)^2=(a+2)^2 $ erfüllen (weil die Werte aufeinanderfolgend sein müssen).
Nun vereinfachen wir die Gleichung und formen sie um:
$ a^2+a^2+2a+1=a^2+4a+4 \Leftrightarrow \\[10pt] 2a^2+2a+1=a^2+4a+4 \Leftrightarrow \\[10pt] a^2-2a-3=0 \\[10pt] $
Durch das Verwenden der kleinen Lösungsformel erhält man als einzige natürliche Lösung $ \underline{\underline{ a=3 }} $.



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