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Transponierte Matrix

Exkurs (Lineare Algebra)


Information

Auf dieser Seite erklären wir dir, wie du die transponierte Matrix bestimmst.


Anleitung

Du bestimmst die transponierte Matrix, indem du die Zeilen mit den Spalten vertauscht. Die Spalten der transponierten Matrix sind somit die Zeilen der ursprünglichen Matrix. Die transponierte Matrix kannst du für jede rechteckige Matrix bestimmen.

Allgemeines Beispiel für eine $ 2 \times 3 $ Matrix:
$ A = \begin{pmatrix} \color{red}{a_{11}} & \color{blue}{a_{12}} \\ \color{green}{a_{21}} & \color{orange}{a_{22}} \\ \color{purple}{a_{31}} & \color{lightblue}{a_{32}} \end{pmatrix} $

Die Zeilen betrachtest du nun als die Spalten der neuen Matrix. Folglich ergibt sich:
$ A = \begin{pmatrix} \color{red}{a_{11}} & \color{green}{a_{21}} & \color{purple}{a_{31}} \\ \color{blue}{a_{12}} & \color{orange}{a_{22}} & \color{lightblue}{a_{32}} \end{pmatrix} $


Durchgerechnete Beispiele

Bilde die transponierte Matrix zu $ A = \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{blue}{-1} \\ \color{green}{2} & \color{orange}{4} \end{pmatrix} $.

Die Lösung:
Vertauschen der Zeilen mit den Spalten führt zu $ A^{T} = \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{green}{2} \\ \color{blue}{-1} & \color{orange}{4} \end{pmatrix} $


Bilde die transponierte Matrix zu $ B = \begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{blue}{-6.8} & \color{green}{0} \\ \color{orange}{1} & \color{purple}{3} & \color{lightblue}{-10} \end{pmatrix} $.

Die Lösung:
Vertauschen der Zeilen mit den Spalten führt zu $ B^{T} = \begin{pmatrix} \color{red}{2} & \color{orange}{1} \\ \color{blue}{-6.8} & \color{purple}{3} \\ \color{green}{0} & \color{lightblue}{-10} \end{pmatrix} $



Rechenregeln für die transponierte Matrix:

Für die transponierte Matrix gelten die folgenden Rechenregeln:

$ (\color{red}{A} + \color{blue}{B})^{T} = \color{red}{A}^{T}+\color{blue}{B}^{T} \\[3pt]$
$ (\color{red}{A} - \color{blue}{B})^{T} = \color{red}{A}^{T}-\color{blue}{B}^{T} \\[3pt]$
$ \left(\color{red}{A}^{T}\right)^T = \color{red}{A} \\[3pt]$
$ (\color{red}{A} \cdot \color{blue}{B})^{T} = \color{blue}{B}^{T} \cdot \color{red}{A}^{T} \\[3pt]$
$ \left(\color{red}{A}^{-1}\right)^T = \left(\color{red}{A}^{T}\right)^{-1} \\[3pt]$
$ (\color{green}{c} \cdot \color{red}{A})^{T} = \color{green}{c} \cdot \color{red}{A}^{T} $ mit $ \color{green}{c} \in \mathbb{R} $




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