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Trigonometrie Rechtwinkliges Dreieck

5.Klasse (Österreichischer Schulplan)


In jedem rechtwinkligen Dreieck gelten die folgenden Formeln:

$sin ( \varphi ) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}}$

$cos ( \varphi ) = \dfrac{\text{Ankathete}}{\text{Hypothenuse}}$

$tan ( \varphi ) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$


Doch was ist überhaupt die Ankathete, die Gegenkathete bzw. die Hypothenuse? Die folgende Definition gibt darüber Auskunft.

Definition Hypothenuse / Ankathete / Gegenkathete:
--> Hypothenuse: Seite gegenüber vom rechten Winkel
--> Ankathete: Seite, welche an dem zu berechnenden Winkel anliegt
--> Gegenkathete: Seite, welche gegenüber des berechnenden Winkels ist
(hier ist $ \varphi $ der zu berechnende Winkel)



Durchgerechnete Beispiele:
1) Bei einem rechtwinkligen Dreieck ist $a=5 cm$, $\alpha=40^{\circ}$ und $\gamma=90^{\circ}$ (rechter Winkel). Berechne $b$,$c$ und $\beta$!

Lösung:
Da die Winkelsumme in einem Dreieck $180^\circ$ beträgt, kann der Winkel $ \beta $ durch Einsetzen in die Formel $ \alpha + \beta + \gamma = 180 $ ausgerechnet werden.
Also: $40 + 90 + \beta = 180 \Leftrightarrow 130 + \beta = 180 \mid -130 \Leftrightarrow \beta=50 ^\circ $

Berechne nun die Seitenlänge b:
Einsetzen in die Formel $sin ( \alpha ) = \dfrac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}}$ ergibt $sin ( \alpha ) = \dfrac{a}{c}$. Da die Werte gegeben sind, kann in die Formel eingesetzt werden:
$sin ( 40 ) = \dfrac{5}{c} \mid \cdot \ c \Leftrightarrow \\[6pt]$
$sin ( 40 ) \cdot c = 5 \mid \ \div sin(40) \Leftrightarrow \\[6pt] $
$c = \dfrac{5}{sin(40)} $

Eingeben in den Taschenrechner ergibt $c=7.7786...$

Um die Seitenlänge c zu berechnen, kann man den pythagoräischen Lehrsatz anwenden (es ist ja ein rechtwinkliges Dreieck).
Also einsetzen in die Formel $a^2+b^2=c^2$ ergibt $5^2+b^2=7.78^2$
Umformen: $5^2+b^2=7.78^2 \mid -5^2 \Leftrightarrow$
$b^2=7.78^2-5^2 \mid \sqrt{} \ \ \Leftrightarrow$
$b=\sqrt{7.78^2-5^2} $

Eingeben in den Taschenrechner ergibt $b=5.9588...$


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