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Biquadratische Gleichungen

5.Klasse (Österreichischer Schulplan)



Biquadratische Gleichungen Definition
Eine biquadratische Gleichung hat folgende allgemeine Form: $ax^4+bx^2+c=0$.

Die Gleichung lässt sich ganz normal mit der großen Lösungsformel lösen, indem $x^2$ durch $a$ ersetzt wird.


Durchgerechnetes Beispiel:
Löse $8x^4-34x^2+8=0$

Ergebnis:
Ersetze $x^2$ durch $a$.
Die Gleichung lautet also: $8a^2-34a+8=0$
Löse jetzt die quadratische Gleichung mit der großen Lösungsformel nach $a$:

$a_{1,2}=\dfrac{-(-34)\pm \sqrt{(-34)^2-4\cdot8\cdot8}}{2\cdot8} \\[6pt] a_{1,2}=\dfrac{34\pm \sqrt{900}}{16} \\[6pt] a_{1,2}=\dfrac{34\pm 30}{16} \\[6pt] a_{1}=\dfrac{34+30}{16} = \dfrac{64}{16} = 4 \\[6pt] a_{2}=\dfrac{34-30}{16} = \dfrac{4}{16} = \dfrac{1}{4} \\[6pt]$



Setze jetzt $a_{1}$ in $x^2=a$ ein.

Also: $x^2=4 \ \ \mid \sqrt{} \\[6pt] x=\pm\sqrt{4} \\[6pt] x_{1} =2, \ x_{2} =-2 $


Setze danach $a_{2}$ in $x^2=a$ ein.

Also: $x^2=\dfrac{1}{4} \ \ \mid \sqrt{} \\[6pt] x=\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}} \\[6pt] x_{3} =\dfrac{1}{2}, \ x_{4} = -\dfrac{1}{2} $


Die Gleichung besitzt also die Lösungen $x_{1} =2 $, $x_{2} =-2$, $x_{3} =\dfrac{1}{2} $, $x_{4} = -\dfrac{1}{2} $

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