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Sinussatz und Kosinussatz

5.Klasse (Österreichischer Schulplan)


Folgende Sätze gelten im allgemeinen Dreieck und nicht nur in rechtwinkligen Dreiecken:

Sinussatz:
$\dfrac{a}{sin(\alpha)} = \dfrac{b}{sin(\beta)} = \dfrac{c}{sin(\gamma)}$

Mithilfe des Sinussatzes kannst du fehlende Winkel im Dreieck berechnen, wenn zumindest ein Winkel gegeben ist. Forme die Gleichung einfach nach der gesuchten Variable um (Beispiele siehe unten).




Kosinussatz:
$a^2=b^2+c^2-2\cdot b \cdot c \cdot cos (\alpha)$
$b^2=a^2+c^2-2\cdot a \cdot c \cdot cos (\beta)$
$c^2=a^2+b^2-2\cdot a \cdot b \cdot cos (\gamma)$

Der Kosinussatz wird gebraucht, wenn in einem Dreieck alle drei Seitenlängen gegeben sind und die Winkel berechnet werden sollen.

Durchgerechnete Beispiele:
1) Bei einem Dreieck ist $a=4 \ cm$, $b=3 \ cm $ und $\alpha=40^\circ$. Berechne $b, \beta$ und $\gamma$!

Lösung:
Verwende den Sinussatz, da zwei Seitenlängen und ein Winkel gegeben sind.
Einsetzen in die Formel $\dfrac{a}{sin(\alpha)} = \dfrac{b}{sin(\beta)}$ ergibt $\dfrac{4}{sin(40)} = \dfrac{7}{sin(\beta)}$.
Da $\beta $ gesucht ist muss die Formel nach Beta umgeformt werden.
Also: $\dfrac{4}{sin(40)} = \dfrac{3}{sin(\beta)} \ \mid \cdot \ sin(40) \cdot sin(\beta)$ $ \Leftrightarrow $

$4 \cdot sin(\beta) = 3 \cdot sin(40) \ \mid \div \ 4$ $\Leftrightarrow$

$ sin(\beta)=\dfrac{3 \cdot sin(40)}{4} \ \mid sin^{-1} \Leftrightarrow $.

$ sin^{-1}(sin(\beta))=sin^{-1}\left( \dfrac{3 \cdot sin(40)}{4} \right) $ $\Leftrightarrow$

$ \beta=sin^{-1}\left( \dfrac{3 \cdot sin(40)}{4} \right) $

Eingeben in den Taschenrechner ergibt: $ \beta \thickapprox 28.82 ^\circ$

Da die Winkelsumme in einem Dreieck $180^\circ$ beträgt kann der Winkel $ \gamma $ durch Einsetzen in die Formel $ \alpha + \beta + \gamma = 180 $ ausgerechnet werden. Also: $40 + 28.82 + \gamma = 180 \Leftrightarrow 68.82 + \gamma = 180 \mid -68.82 \Leftrightarrow \gamma=111.18 ^\circ $

Nun fehlt noch die Seitenlänge c. Erneutes Einsetzen in die Formel $\dfrac{a}{sin(\alpha)} = \dfrac{c}{sin(\gamma)}$ ergibt $\dfrac{4}{sin(40)} = \dfrac{c}{sin(111.18)}$.
Umformen nach c nach dem gleichen Prinzip wie oben: $c=\dfrac{4 \cdot sin(111.18)}{sin(40)}\Rightarrow c \thickapprox 5.8 \ cm$



2) Bei einem Dreieck ist $a=4 \ cm$, $b=6 \ cm $ und $c=7 \ cm $. Berechne $\alpha, \beta$ und $\gamma$!

Lösung:
Da nur Seitenlängen gegeben sind und keine Winkel, ist der Kosinussatz anzuwenden.
Einsetzen in die Formel $a^2=b^2+c^2-2\cdot b \cdot c \cdot cos (\alpha)$ ergibt $4^2=6^2+7^2-2 \cdot 6 \cdot 7 \cdot cos(\alpha)$.
Da der Winkel $ \alpha $ gesucht ist, muss die Formel nach $ \alpha $ umgeformt werden.
Also: $4^2=6^2+7^2-2 \cdot 6 \cdot 7 \cdot cos(\alpha) \ \Leftrightarrow $

$ 16=36+49-84 \cdot cos(\alpha) \ \Leftrightarrow $

$ 16=85-84 \cdot cos(\alpha) \ \mid - 85 \ \Leftrightarrow $

$ -69=-84 \cdot cos(\alpha) \ \mid \div \ (-84) \ \Leftrightarrow $

$ \dfrac{-69}{-84}= cos(\alpha) \ \mid cos^{-1} \ \Leftrightarrow $

$ cos^{-1}\left(\dfrac{-69}{-84}\right)= cos^{-1}(cos(\alpha)) \ \Leftrightarrow $

$\alpha = cos^{-1}\left(\dfrac{-69}{-84}\right)$

Eingeben in den Taschenrechner ergibt: $ \alpha \thickapprox 34.77 ^\circ$

Da nun ein Winkel bekannt ist, kann jetzt der etwas kürzere Sinussatz anstatt des Kosinussatzes angewendet werden.
Einsetzen in die Formel $\dfrac{a}{sin(\alpha)} = \dfrac{b}{sin(\beta)}$ ergibt $\dfrac{4}{sin(34.77)} = \dfrac{6}{sin(\beta)}.$
Umformen nach b nach dem gleichen Prinzip wie bei Beispiel 1 ergibt $ \beta=sin^{-1}\left( \dfrac{6 \cdot sin(34.77)}{4} \right) \Rightarrow \beta \thickapprox 58.81 $

Da die Winkelsumme in einem Dreieck $180^\circ$ beträgt kann der Winkel $ \gamma $ durch Einsetzen in die Formel $ \alpha + \beta + \gamma = 180 $ ausgerechnet werden.
Also: $34.77 + 58.81 + \gamma = 180 \Leftrightarrow 93.58 + \gamma = 180 \mid -93.58 \Leftrightarrow \gamma=86.42 ^\circ $


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