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Komplexe Zahlen subtrahieren

7.Klasse (Österreichischer Schulplan)



Information:

Auf dieser Seite erklären wir dir leicht verständlich, wie du zwei komplexe Zahlen voneinander subtrahierst.

Um diesen Artikel zu verstehen, solltest du bereits wissen, was komplexe Zahlen überhaupt sind. Falls du das nicht weißt, kannst du es hier nochmal nachlesen.


Definition:

Die Subtraktion von zwei komplexen Zahlen $\color{red}{z_1=a_1+b_1i}$ und $\color{blue}{z_2=a_2+b_2i}$ ist folgendermaßen definiert:

$\color{red}{z_1}-\color{blue}{z_2}=(\color{red}{a_1}-\color{blue}{a_2})+i \cdot (\color{red}{b_1}-\color{blue}{b_2})$

Die Subtraktion erfolgt also komponentenweise. Du subtrahierst zuerst die beiden Realteile voneinander und als nächstes die beiden Imaginärteile. Das Resultat ist wieder eine komplexe Zahl. Schau dir die folgenden Beispiele an, um die Subtraktion von komplexen Zahlen bestmöglich zu verstehen.

Beispiele:

$ (\color{red}{3+2i}) - (\color{blue}{7+3i}) = (\color{red}{3}-\color{blue}{7}) + (\color{red}{2i} - \color{blue}{3i}) = -4 - 1i \\[8pt] (\color{red}{-3+5i}) - (\color{blue}{-2-0.5i}) = (\color{red}{-3}-\color{blue}{(-2)}) + (\color{red}{5i} - \color{blue}{(-0.5i)}) = -1 + 5.5i \\[8pt] (\color{red}{-5+5i}) - (\color{blue}{-2-5i}) = (\color{red}{-5}-\color{blue}{(-2)}) + (\color{red}{5i} - \color{blue}{(-5i)}) = -3 + 10i \\[8pt] (\color{red}{-2i}) - (\color{blue}{-1+2i}) = (\color{red}{0}-\color{blue}{(-1)}) + (\color{red}{-2i} - \color{blue}{2i}) = 1 - 4i \\[8pt] (\color{red}{-7}) - (\color{blue}{-0.4+1i}) = (\color{red}{-7} - \color{blue}{(-0.4)}) + (\color{red}{0} - \color{blue}{1i}) = -6.6 - 1i $

Du merkst also: Es können leicht Vorzeichenfehler passieren. Arbeite deshalb bei Aufgaben genau und überprüfe mehrmals das Vorzeichen!

Hinweis: Statt $1i$ schreibst du oftmals auch nur $i$. Nur damit du nicht verwirrt bist, falls dir $i$ unterkommt.


Rechner:
Subtrahiere zwei komplexe Zahlen online

Gib hier zwei komplexe Zahlen ein. Diese werden dann samt Zwischenschritten mithilfe dieses Rechners voneinander subtrahiert.

1.Komplexe Zahl:
2.Komplexe Zahl:

 


Graphische Subtraktion von komplexen Zahlen:
Komplexe Zahlen können in der Gauß'schen Zahlenebene dargestellt werden und entsprechen somit Vektoren. Diese können entsprechend der Regeln der graphischen Vektorsubtraktion subtrahiert werden.

Beispiel
Subtrahiere von der komplexen Zahl $ z_1 = 3+4i $ die komplexe Zahl $z_2 = 4+2i$.

Die Lösung:
Die komplexe Zahl $z_1$ entspricht dem Vektor $ \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ \end{pmatrix} $ und die komplexe Zahl $z_2$ dem Vektor $ \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ \end{pmatrix} $. Die beiden Vektoren subtrahieren wir nun graphisch:


Wir lesen die Koordinaten des Ergebnisvektors ab: Es ergibt sich der Vektor $ \vec{s}=\begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ \end{pmatrix} $, welcher der komplexen Zahl $ -1+2i $ entspricht.

Rechnerisch ergibt sich dasselbe:
$(\color{red}{3+4i}) - (\color{blue}{4+2i}) = (\color{red}{3} - \color{blue}{4}) + (\color{red}{4i} - \color{blue}{2i}) =-1 + 2i $


Rechengesetze, die gelten und Rechengesetze, die nicht gelten:

Assoziativgesetz:
Das Assoziativgesetz gilt nicht!
$ x - (y - z) \ne (x-y) -z $

Gegenbeispiel: $ (2+3i) - ((3+4i) - (1-6i)) \ne ((2+3i) - (3+4i)) - (1-6i) \Leftrightarrow -7i \ne -2+5i $

Kommutativgesetz
Das Kommutativgesetz gilt nicht!
$a-b \ne b-a$

Beispiel: $(1+2i) - (-1+2i) = (-1+2i) - (1+2i) \Leftrightarrow 2 \ne -2$

Abgeschlossenheit
Wenn du zwei komplexe Zahlen voneinander abziehst, kommt stets wieder eine komplexe Zahl heraus.



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