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Komplexe Zahlen Polarform

7.Klasse (Österreichischer Schulplan)



Information:

Auf dieser Seite erklären wir dir leicht verständlich, wie du eine komplexe Zahl in ihre Polarform umrechnest.


Definition:

Du kannst eine komplexe Zahl $ z=a+bi $ (in kartesischen Koordinaten) auch in der Polarform $ z=r \cdot ( cos(\phi)+i \cdot sin(\phi) ) $ darstellen. Wie du die Umrechnung durchführst, erfährst du hier.

--> Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten
--> Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten


Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten:

Hierfür benötigst du die folgenden beiden Formeln:
$ r = \sqrt{a^2+b^2} $ und $ \varphi=tan^{-1}\left(\dfrac{b}{a}\right) $

Um die Umrechnung durchzuführen, setzt du also den Realteil $a$ sowie den Imaginärteil $b$ in die beiden Formeln ein. Du erhältst so $ r $ sowie $\varphi$, welche du in die Formel für die Polarform ($ z=r \cdot ( cos(\phi)+i \cdot sin(\phi) ) $) einsetzt.

Durchgerechnetes Beispiel:

Wandle die komplexe Zahl $z_1=3-4i$ in ihre Polarform um.

Die Lösung:
Der Realteil $a$ von $z_1$ ist $3$ und der Imaginärteil $b$ ist $-4$. Diese Werte setzen wir in die obigen Formeln für $r$ und $\varphi$ ein.

$ r=\sqrt{a^2+b^2} \\[8pt] r=\sqrt{3^2 + (-4)^2} \\[8pt] r=\sqrt{9 + 16} \\[8pt] r=\sqrt{25} \\[8pt] r=5$
---
$ \varphi=tan^{-1}\left(\dfrac{-4}{3}\right) \\[8pt] \varphi=-53.13°=306.87° $

Die komplexe Zahl in der Polarform lautet somit $ z=5 \cdot ( cos(-53.13)+i \cdot sin(-53.13) ) $.


Umrechnung von Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten:

Hierfür benötigst du die folgenden beiden Formeln:
$ a = r \cdot \cos{ \varphi } $ und $ b = r \cdot \sin{ \varphi } $

Um die Umrechnung durchzuführen, setzt du also $r$ sowie den Winkel $\varphi$ von der Polarform in die beiden Formeln ein. Du erhältst so den Realteil $ a $ sowie den Imaginärteil $b$. (Darstellung der komplexen Zahl in kartesische Koordinaten)

Durchgerechnetes Beispiel:

Wandle die komplexe Zahl $ z=3 \cdot ( cos(50)+i \cdot sin(50) ) $ in kartesische Koordinaten um.

Die Lösung:
Der Radius $r$ von $z$ ist $3$ und der Winkel $\varphi$ ist $50$. Diese Werte setzen wir in die obigen Formeln für $a$ und $b$ ein.

$ a = r \cdot \cos{ \varphi } \\[8pt] a = 3 \cdot \cos{ 50 } \\[8pt] a=2.89$
---
$ b = r \cdot \sin{ \varphi } \\[8pt] b = 3 \cdot \sin{ 50 } \\[8pt] b=-0.79$

Die komplexe Zahl in kartesischen Koordinaten lautet also $ z=2.89-0.79i $.



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