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Vektoren addieren

5.Klasse (Österreichischer Schulplan)



Definition:
Die Addition bzw. Subtraktion von zwei Vektoren erfolgt komponentenweise. Das heißt du addierst die x-Koordinaten beider Vektoren zusammen und danach die y-Koordinaten und erhältst wieder einen Vektor.

Als Formel:
$ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ \end{pmatrix} $
$ \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 - b_1 \\ a_2 - b_2 \\ \end{pmatrix} $


Graphisch:
Du kannst natürlich auch Vektoren grafisch addieren / subtrahieren:
An die Spitze des ersten Vektors hängst du den zweiten Vektor an.
Der daraus entstehende Vektor ist der Ergebnisvektor.

Die folgende Abbildung verdeutlicht den Zusammenhang:
blau: Vektoren, grün: Ergebnisvektor




Beispiel:
Es gilt, dass $ \vec{a} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ \end{pmatrix}$ und $ \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ \end{pmatrix}$. Berechne $ \vec{a} + \vec{b}$ und $ \vec{a} - \vec{b}$!

Die Lösung:
$ \vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 + 3 \\ 5 + 4 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 9 \\ \end{pmatrix}$
$ \vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 3 \\ 5 - 4 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \end{pmatrix}$

Graphisch:
- Addition:


- Subtraktion:

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