Kreissektor Bogenlänge
4.Klasse (Österreichischer Schulplan)
Information:
Die Bogenlänge eines Kreissektors berechnest du mit folgenden Formeln:
$ U = \dfrac{r \cdot \alpha \cdot \pi }{180} \\[6pt]$ oder
$ U = \dfrac{d \cdot \alpha \cdot \pi }{360} $
Dabei ist $ r $ der Radius des Kreises, $ \alpha $ der Winkel des Kreissektors, $d$ der Durchmesser und $ \pi $ eine irrationale Zahl ($ \pi = 3.1415926 $). Auf dem Taschenrechner gibt es eine eigene Taste für $ \pi $.
Beispiele:
1) Berechne die Bogenlänge eines Kreissektors mit dem Radius von $6 \ cm$ und einem Winkel von $ 46° $.
Antwort:
Einsetzen in die Formel $ U = \dfrac{r \cdot \alpha \cdot \pi}{180} $ ergibt $ U = \dfrac{6 \cdot 45 \cdot \pi}{180} = \dfrac{270 \cdot \pi}{180} = \dfrac{848.23}{180} = \underline{\underline{4.712 \ cm}}$
2) Berechne die Bogenlänge eines Kreissektors mit dem Radius von $9 \ cm$ und einem Winkel von $ 289° $.
Antwort:
Einsetzen in die Formel $ U = \dfrac{r \cdot \alpha \cdot \pi}{180} $ ergibt $ U = \dfrac{9 \cdot 289 \cdot \pi}{180} = \dfrac{2601 \cdot \pi}{180} = \dfrac{8171.282}{180} = \underline{\underline{45.396 \ cm}}$
Umkehraufgaben:
Du kannst die Formeln auch umformen. Es gilt also:
$r = \dfrac{180 \cdot U}{\alpha \cdot \pi} \\[6pt]$
$\alpha = \dfrac{180 \cdot U}{r \cdot \pi}$
Beispiele:
1) Ein Kreissektor mit dem Winkel von $ 95° $ hat die Bogenlänge von $ 30 \ cm $. Berechne den Radius!
Antwort:
Einsetzen in die Formel $r = \dfrac{180 \cdot U}{\alpha \cdot \pi} $ ergibt $r = \dfrac{180 \cdot 30}{95 \cdot \pi} = \dfrac{5400}{298.451} = \underline{\underline{18.093}} $
2) Ein Kreissektor mit dem Radius von $ 5 \ cm $ hat die Bogenlänge von $ 10 \ cm $. Berechne den Winkel!
Antwort:
Einsetzen in die Formel $\alpha = \dfrac{180 \cdot U}{r \cdot \pi} = \dfrac{180 \cdot 10}{5 \cdot \pi} = \dfrac{1800}{15.708} = \underline{\underline{114.592}} \\[6pt] $
Antwort: Der Winkel beträgt also ungefähr $ 115° $.
Umfang:
Um den Umfang zu berechnen, musst du zur Bogenlänge noch zweimal den Radius addieren. Also $ U = 2 \cdot r + b $
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