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Einheitsvektor

5.Klasse (Österreichischer Schulplan)


Definition:
Ein Vektor mit Länge 1 wird Einheitsvektor genannt.


Formel zum Berechnen des Einheitsvektors:
Es sei $ \vec{a} $ ein Vektor mit beliebiger Länge. Der dazugehörige Einheitsvektor ist dann mit folgender Formel berechenbar:

Im 2D: Im 3D:
$a_0 = \dfrac {\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \end{pmatrix}}{ \left \vert \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \end{pmatrix} \right \vert}$ $a_0 = \dfrac {\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \end{pmatrix}}{ \left \vert \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ \end{pmatrix} \right \vert}$


Grafik:
blau: Vektor, grün: dazugehöriger Einheitsvektor




Beispiel 1:
Berechne den Einheitsvektor zu $ \vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ \end{pmatrix}$

Lösung:
Einsetzen in die Formel ergibt $ \dfrac {\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ \end{pmatrix}}{ \left \vert \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ \end{pmatrix} \right \vert} = \dfrac {\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ \end{pmatrix}}{ \sqrt{ 3^2+4^2}} = \dfrac {\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ \end{pmatrix}}{ \sqrt{ 9+16}}$
$ = \dfrac {\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ \end{pmatrix}}{ \sqrt{ 25 }} = \dfrac {\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ \end{pmatrix}}{ 5} = \begin{pmatrix} \dfrac{3}{5} \\ \dfrac{4}{5} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.6 \\ 0.8 \\ \end{pmatrix}$




Beispiel 2:
Berechne den Einheitsvektor zu $ \vec{a} = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix}$

Lösung:
Einsetzen in die Formel ergibt $ \dfrac {\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix}}{ \left \vert \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} \right \vert} = \dfrac {\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix}}{ \sqrt{ (-1)^2+3^2+7^2}} = \dfrac {\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix}}{ \sqrt{ 1+9+49}}$
$ = \dfrac {\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix}}{ \sqrt{ 59 }} = \begin{pmatrix} \dfrac{-1}{\sqrt{ 59 }} \\ \dfrac{3}{\sqrt{ 59 }} \\ \dfrac{7}{\sqrt{ 59 }} \\ \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} -0,13 \\ 0.39 \\ 0.91 \\ \end{pmatrix}$






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