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Stetigkeit

7.Klasse (Österreichischer Schulplan)


Information:
Auf dieser Seite erklären wir dir, wie der Begriff Stetigkeit definiert ist.


Definition:
Eine Funktion heißt stetig, wenn du sie ohne mit dem Stift abzusetzen zeichnen kannst. Das heißt, dass die Funktion keine Sprungstellen haben darf.

Beispiele: Sind die folgenden Funktionen stetig?

$f(x)=x^2$
Ja, die Funktion ist stetig, weil du sie "in einem Durch" zeichnen kannst.


$f(x)=e^x$
Ja, die Funktion ist ebenfalls stetig, weil du sie "in einem Durch" zeichnen kannst.


$f(x)=cos(x)$
Ja, die Funktion ist auch stetig, weil du sie "in einem Durch" zeichnen kannst.


$f(x)=2$ für $x<0$, $f(x)=0$ für $x=0$ und $f(x)=-1$ für $x>0$
Diese Funktion ist nicht stetig, weil sie eine Sprungstelle (an der Stelle 0) hat.

Formale Definition:
Da es die Begriffe "in einem Durch zeichnen" oder "nicht Absetzen" in der Mathematik nicht gibt, ist es notwendig eine exakte Definition für Stetigkeit zu definieren.

Eine Funktion heißt stetig an der Stelle $x$, wenn der linksseitige Limes gleich dem rechtsseitigem Limes gleich dem Funktionswert an der Stelle $x$ ist.

Eine Funktion wird stetig genannt, wenn sie an allen Stellen ihrer Definitionsmenge stetig ist.

Epsilon-Delta Kriterium: Exkurs!
Eine Funktion heißt stetig in $a$, wenn es für jedes $ \epsilon>0 $ ein $ \delta>0 $ gibt, sodass für alle $ x \in D $ mit $ \mid x-a\mid < \delta $ gilt: $ \ \mid f(x)-f(a)\mid <\epsilon $


Welche Funktionen sind stetig? (Auswahl)
- Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktionen
- Polynomfunktionen
- Exponentialfunktionen


Exkurse! (Hier endet der Schulstoff)



Interessante unstetige Funktionen: $f(x)=sin(\frac{1}{x})$ für $x \neq 0$ und $f(x)=0$ für $x=0$

Diese Funktion ist nicht stetig, weil sie an der Stelle 0 nicht stetig ist.

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