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Gauß Algorithmus

Exkurs (Lineare Algebra)


Information

Auf dieser Seite erklären wir dir, was der Gauß Algorithmus ist und wie du mithilfe von ihm lineare Gleichungssysteme lösen kannst.


Wofür brauchst du den Gauß Algorithmus?

Mithilfe des Gauß Algorithmus kannst du ganz einfach lineare Gleichungssysteme lösen. Hierfür befolgst du die nachfolgenden Schritte.

Umwandeln des GLS in eine Koeffizientenmatrix

Den Gauß Algorithmus darfst du nur auf Matrizen anwenden. Deshalb schreibst du das lineare Gleichungssystem als sogenannte Koeffizientenmatrix.

Du lässt also die Variablen weg und schreibst nur die Koeffizienten sowie die rechte Seite an.

Beispiel:
Aus dem Gleichungssystem (GLS)
$$ 2a+3b+5c=-3 \\[8pt] -3a-2c=2 \\[8pt] 4a+7b-c=1 $$ wird $$ \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 5 & -3\\ -3 & 0 & -2 & 2\\ 4 & 7 & -1 & 1 \end{array}\right)$$


Ziel der Gausselimination

Dein Ziel ist es die Koeffizientenmatrix in eine obere Dreiecksmatrix umzuwandeln. Hierfür darfst du die Matrix nach den folgenden drei Regeln umformen.

Hinweis:
Der Grund, warum du die Matrix in eine obere Dreieckmatrix umwandeln möchtest, ist einfach. Du kannst dann nämlich von unten nach oben die Lösungen des GLS ablesen.

Beispiel
Von der Matrix $A$ in Dreiecksgestalt kannst du die Lösung ganz einfach bestimmen:
$$ A=\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 5 & -3\\ 0 & 6 & -2 & 2\\ 0 & 0 & 2 & 4 \end{array}\right)$$ Die letzte Gleichung in der normalen Form geschrieben lautet $2z=4$. Du siehst sofort, dass $z=2$ ist. Wenn du jetzt die zweite Zeile normal anschreibst und für $z$ den Wert einsetzt, erhältst du $ 6y - 2 \cdot 2 = 2 $. Umformen auf $y$ führt zu $y=1$. Schließlich setzt du $y$ und $z$ in die erste Gleichung ein. Du kommst auf $ 2x+ 3 \cdot 1 + 5 \cdot 2 = -3 $. Wenn du nun wieder auf $x$ umformst, erhältst du $x=5$.

Die Lösung des GLS ist somit $x=5, y=1$ und $z=2$.

Du siehst: Wenn du die Matrix als obere Dreiecksmatrix schreibst, kannst du die Lösung ganz einfach herausfinden.


Schreiben der Matrix als obere Dreiecksmatrix

Dieser Schritt ist wohl der wichtigste. Indem du Zeilen vertauscht und indem du eine Zeile zu einer anderen addierst, gelingt es dir die Matrix als obere Dreiecksmatrix zu schreiben. Deshalb hier eine allgemeine Schritt-für-Schritt Anleitung für dieses Prozedere:

Schritt 1: Dividiere die oberste Gleichung durch den Wert, der vor dem ersten Eintrag steht.
Schritt 2: Multipliziere die oberste Gleichung mit jener Zahl, die bei dem ersten Eintrag der zweiten Zeile steht. Schreibe das Ergebnis überhalb der Matrix.
Schritt 3: Subtrahiere das vorher berechnete Ergebnis Ergebnis von der zweiten Zeile und ersetze dann die zweite Zeile.
Schritt 4: Dasselbe Prinzip wiederholst du für die dritte Zeile / vierte Zeile / ... .
Schritt 5: Die erste Spalte hat nun nur noch oben eine Eins und unterhalb sind lauter 0-er. Falls dies nicht der Fall ist, hast du einen Fehler gemacht.
Schritt 6: Nun machst du dieses Prozedere weiter mit der nächsten Spalte. Du dividierst wiederum die zweite Zeile durch den Wert vor dem zweiten Eintrag. Nun fährst du wiederum so fort, sodass unterhalb der $1$ der zweiten Zeile nur noch $0$-er stehen. Dies machst du so lange (d.h. machst dasselbe auch für den dritten Eintrag der dritten Zeile usw.) bis die Matrix in oberer Dreiecksform ist.


Nach der langen Erklärung ist nichts wichtiger als die Praxis, damit du es (noch) besser verstehst.


Beispiele


Beispiel 1:
Löse das GLS $$ 2a - 4b-3c = 2 \\[8pt] 5a -b -5c = -12 \\[8pt] -3a + 6b +3c = -9 $$ Die Lösung:
Schreibe das GLS als erweiterte Koeffizientenmatrix:
$$ \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & -4 & -3 & 2 \\ 5 & -1 & -5 & -12 \\ -3 & 6 & 3 & -9 \end{array}\right)$$ Wende nun das Gauß Verfahren auf die Koeffizientenmatrix an:

Dividiere die erste Zeile durch den ersten Eintrag der Koeffizientenmatrix:
$$ \left(\begin{array}{ccc|c} \bbox[red,5px]{\color{white}{2}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{-4}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{-3}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{2}} \ \ \ \color{red}{\mid \ \div \ 2}\\ 5 & -1 & -5 & -12 \\ -3 & 6 & 3 & -9 \end{array}\right) $$ $$ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & -1.5 & 1 \\ 5 & -1 & -5 & -12 \\ -3 & 6 & 3 & -9 \end{array}\right) $$ Multipliziere die erste Zeile mit $5$ (erster Eintrag der zweiten Zeile) und schreibe das Ergebnis über die Matrix:
$$ \left(\begin{array}{ccc|c} \bbox[red,5px]{\color{white}{1}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{-2}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{-1.5}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{1}} \ \ \ \color{red}{\mid \ \cdot \ 5}\\ \color{red}{5} & -1 & -5 & -12 \\ -3 & 6 & 3 & -9 \end{array}\right) $$ $$ \begin{array}{ccc|c} \bbox[green,5px]{\color{white}{5}} & \bbox[green,5px]{\color{white}{-10}} & \bbox[green,5px]{\color{white}{-7.5}} & \bbox[green,5px]{\color{white}{5}} \end{array} \\ \left(\begin{array}{ccc|c} \color{black}{1} & \color{black}{-2} & \color{black}{-1.5} & \color{black}{1} \ \ \ \\ 5 & -1 & -5 & -12 \\ -3 & 6 & 3 & -9 \end{array}\right) $$ Subtrahiere das vorhin ausgerechnete Ergebnis von der zweiten Zeile:
$$ \left(\begin{array}{ccc|c} \color{black}{1} & \color{black}{-2} & \color{black}{-1.5} & \color{black}{1} \ \ \ \\ \color{red}{5}-\color{green}{5} & \color{red}{-1}-\color{green}{(-10)} & \color{red}{-5}-\color{green}{(-7.5)} & \color{red}{-12}-\color{green}{5} \\ -3 & 6 & 3 & -9 \end{array}\right) $$ $$ \left(\begin{array}{ccc|c} \color{black}{1} & \color{black}{-2} & \color{black}{-1.5} & \color{black}{1} \ \ \ \\ 0 & -11 & -12.5 & -17 \\ -3 & 6 & 3 & -9 \end{array}\right) $$ Die erste 0 ist erzeugt. Dasselbe machen wir nun nochmal für die dritte Zeile: Multipliziere die erste Zeile mit $-3$ (erster Eintrag der dritten Zeile) und schreibe das Ergebnis über die Matrix:
$$ \left(\begin{array}{ccc|c} \bbox[red,5px]{\color{white}{1}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{-2}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{-1.5}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{1}} \ \ \ \color{red}{\mid \ \cdot \ (-3)}\\ 0 & -11 & -12.5 & -17 \\ \color{red}{-3} & 6 & 3 & -9 \end{array}\right) $$ $$ \begin{array}{ccc|c} \bbox[green,5px]{\color{white}{-3}} & \bbox[green,5px]{\color{white}{6}} & \bbox[green,5px]{\color{white}{4.5}} & \bbox[green,5px]{\color{white}{-3}} \end{array} \\ \left(\begin{array}{ccc|c} \color{black}{1} & \color{black}{-2} & \color{black}{-1.5} & \color{black}{1} \ \ \ \\ 0 & -11 & -12.5 & -17 \\ -3 & 6 & 3 & -9 \end{array}\right) $$ Subtrahiere das vorhin ausgerechnete Ergebnis von der dritten Zeile:
$$ \left(\begin{array}{ccc|c} \color{black}{1} & \color{black}{-2} & \color{black}{-1.5} & \color{black}{1} \ \ \ \\ 0 & -11 & -12.5 & -17 \\ \color{red}{(-3)}-\color{green}{(-3)} & \color{red}{6}-\color{green}{6} & \color{red}{3}-\color{green}{4.5} & \color{red}{-9}-\color{green}{(-3)} \end{array}\right) $$ $$ \left(\begin{array}{ccc|c} \color{black}{1} & \color{black}{-2} & \color{black}{-1.5} & \color{black}{1} \ \ \ \\ 0 & -11 & -12.5 & -17 \\ 0 & 0 & -1.5 & -6 \end{array}\right) $$
Du hast Glück gehabt: Die Matrix ist nun schon in Dreiecksform, obwohl du nur zweimal beabsichtigt $0$-er hinzugefügt hast. Der dritte ist quasi 'zufällig' entstanden. Im zweiten Beispiel hast du jedoch leider nicht dieses Glück. Aber jetzt weiter mit dem Beispiel.

Um nun auf die Lösung zu kommen löst du das GLS von unten nach oben. Dies sieht folgendermaßen aus:

Die letzte Gleichung in der normalen Form geschrieben lautet $-1.5z=-6$. Du siehst sofort, dass $z=4$ ist. Wenn du jetzt die zweite Zeile normal anschreibst und für $z$ den Wert einsetzt, erhältst du $ -11y - 12.5 \cdot (-4) = -17 $. Umformen auf $y$ führt zu $y=-3$. Schließlich setzt du $y$ und $z$ in die erste Gleichung ein. Du kommst auf $ 1x- 2 \cdot (-3) -1.5 \cdot 4 = 1 $. Wenn du wieder auf $x$ umformst, erhältst du $x=1$.

Die Lösung des GLS liegt somit bei $x=1, y=-3$ und $z=4$.

Beispiel 2:
Löse das GLS $$ a + 2b +c = 3 \\[8pt] -3a +2b -6c = -26 \\[8pt] -2a + 5b +7c =12 $$ Die Lösung:
Schreibe das GLS als erweiterte Koeffizientenmatrix:
$$ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ -3 & 2 & -6 & -26 \\ -2 & 5 & 7 & 12 \end{array}\right)$$ Wende nun das Gauß Verfahren auf die Koeffizientenmatrix an:

Dividiere die erste Zeile durch den ersten Eintrag der Koeffizientenmatrix ($1$):
$$ \left(\begin{array}{ccc|c} \bbox[red,5px]{\color{white}{1}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{2}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{1}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{3}} \ \ \ \color{red}{\mid \ \div \ 1}\\ -3 & 2 & -6 & -26 \\ -2 & 5 & 7 & 12 \end{array}\right) $$ $$ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ -3 & 2 & -6 & -26 \\ -2 & 5 & 7 & 12 \end{array}\right) $$ Multipliziere die erste Zeile mit $-3$ (erster Eintrag der zweiten Zeile) und schreibe das Ergebnis über die Matrix:
$$ \left(\begin{array}{ccc|c} \bbox[red,5px]{\color{white}{1}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{2}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{1}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{3}} \ \ \ \color{red}{\mid \ \cdot \ (-3)}\\ \color{red}{-3} & 2 & -6 & -26 \\ -2 & 5 & 7 & 12 \end{array}\right) $$ $$ \begin{array}{ccc|c} \bbox[green,5px]{\color{white}{-3}} & \bbox[green,5px]{\color{white}{-6}} & \bbox[green,5px]{\color{white}{-3}} & \bbox[green,5px]{\color{white}{-9}} \end{array} \\ \left(\begin{array}{ccc|c} \color{black}{1} & \color{black}{2} & \color{black}{1} & \color{black}{3} \ \ \ \\ -3 & 2 & -6 & -26 \\ -2 & 5 & 7 & 12 \end{array}\right) $$ Subtrahiere das vorhin ausgerechnete Ergebnis von der zweiten Zeile:
$$ \left(\begin{array}{ccc|c} \color{black}{1} & \color{black}{2} & \color{black}{1} & \color{black}{3} \ \ \ \\ \color{red}{(-3)}-\color{green}{(-3)} & \color{red}{2}-\color{green}{(-6)} & \color{red}{(-6)}-\color{green}{(-3)} & \color{red}{-26}-\color{green}{(-9)} \\ -2 & 5 & 7 & 12 \end{array}\right) $$ $$ \left(\begin{array}{ccc|c} \color{black}{1} & \color{black}{2} & \color{black}{1} & \color{black}{3} \ \ \ \\ 0 & 8 & -3 & -17 \\ -2 & 5 & 7 & 12 \end{array}\right) $$ Die erste 0 ist erzeugt. Dasselbe machen wir nun nochmal für die dritte Zeile: Multipliziere die erste Zeile mit $-2$ (erster Eintrag der dritten Zeile) und schreibe das Ergebnis über die Matrix:
$$ \left(\begin{array}{ccc|c} \bbox[red,5px]{\color{white}{1}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{2}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{1}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{3}} \ \ \ \color{red}{\mid \ \cdot \ (-2)}\\ 0 & 8 & -3 & -17 \\ \color{red}{-2} & 5 & 7 & 12 \end{array}\right) $$ $$ \begin{array}{ccc|c} \bbox[green,5px]{\color{white}{-2}} & \bbox[green,5px]{\color{white}{-4}} & \bbox[green,5px]{\color{white}{-2}} & \bbox[green,5px]{\color{white}{-6}} \end{array} \\ \left(\begin{array}{ccc|c} \color{black}{1} & \color{black}{2} & \color{black}{1} & \color{black}{3} \ \ \ \\ 0 & 8 & -3 & -17 \\ -2 & 5 & 7 & 12 \end{array}\right) $$ Subtrahiere das vorhin ausgerechnete Ergebnis von der dritten Zeile:
$$ \left(\begin{array}{ccc|c} \color{black}{1} & \color{black}{2} & \color{black}{1} & \color{black}{3} \ \ \ \\ 0 & 8 & -3 & -17 \\ \color{red}{(-2)}-\color{green}{(-2)} & \color{red}{5}-\color{green}{(-4)} & \color{red}{7}-\color{green}{(-2)} & \color{red}{12}-\color{green}{(-6)} \end{array}\right) $$ $$ \left(\begin{array}{ccc|c} \color{black}{1} & \color{black}{2} & \color{black}{1} & \color{black}{3} \ \ \ \\ 0 & 8 & -3 & -17 \\ 0 & 9 & 9 & 18 \end{array}\right) $$ Dividiere die zweite Zeile durch den zweiten Eintrag der Koeffizientenmatrix ($8$):
$$ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ \bbox[red,5px]{\color{white}{0}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{8}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{-3}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{-17}} \ \ \ \color{red}{\mid \ \div \ 8} \\ 0 & 9 & 9 & 18 \end{array}\right) $$ $$ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & \frac{-3}{8} & \frac{-17}{8} \\ 0 & 9 & 9 & 18 \end{array}\right) $$ Multipliziere die zweite Zeile mit $9$ (zweiter Eintrag der zweiten Zeile) und schreibe das Ergebnis über die Matrix:
$$ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ \bbox[red,5px]{\color{white}{0}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{1}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{\frac{-3}{8}}} & \bbox[red,5px]{\color{white}{\frac{-17}{8}}} \ \ \ \color{red}{\mid \ \cdot \ 9} \\ 0 & 9 & 9 & 18 \end{array}\right) $$ $$ \begin{array}{ccc|c} \bbox[green,5px]{\color{white}{0}} & \bbox[green,5px]{\color{white}{9}} & \bbox[green,5px]{\color{white}{\frac{-27}{8}}} & \bbox[green,5px]{\color{white}{\frac{-153}{8}}} \end{array} \\ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & \frac{-3}{8} & \frac{-17}{8} \\ 0 & 9 & 9 & 18 \end{array}\right) $$ Subtrahiere das vorhin ausgerechnete Ergebnis von der dritten Zeile:
$$ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & \frac{-3}{8} & \frac{-17}{8} \\ \color{red}{0}-\color{green}{0} & \color{red}{9}-\color{green}{9} & \color{red}{9}-\color{green}{(\frac{-27}{8})} & \color{red}{18}-\color{green}{\frac{(-153)}{8}} \end{array}\right) $$ $$ \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & \frac{-3}{8} & \frac{-17}{8} \\ 0 & 0 &12 \frac{3}{8} & 37 \frac{1}{8} \end{array}\right) $$
Die Matrix ist nun in Dreiecksgestalt! Um nun auf die Lösung zu kommen löst du das GLS von unten nach oben. Dies sieht folgendermaßen aus:

Die letzte Gleichung in der normalen Form geschrieben lautet $12 \frac{3}{8}z=37 \frac{1}{8}$. Formst du auf $z$ um, bekommst du $z=3$. Wenn du jetzt die zweite Zeile normal anschreibst und für $z$ den Wert einsetzt, erhältst du $ y - \frac{3}{8} \cdot 3 = \frac{-17}{8} $. Umformen auf $y$ führt zu $y=-1$. Schließlich setzt du $y$ und $z$ in die erste Gleichung ein. Du kommst auf $ 1x+ 2 \cdot (-1) + 3 = 3 $. Wenn du wieder auf $x$ umformst, erhältst du $x=2$.

Die Lösung des GLS liegt somit bei $x=2, y=-1$ und $z=3$.


Abschließende Bemerkungen

Der Gauß Algorithmus kann auch für Matrizen höherer Dimensionen verwendet werden. Übe dieses Verfahren regelmäßig und im Nu merkst du, dass du damit am besten GLS lösen kannst.



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