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Quadratische Gleichungen Beweis der Lösungsformeln

5.Klasse (Österreichischer Schulplan)



Information:
Hier findest du eine Herleitung der großen bzw. kleinen Lösungsformel. Kommentare zu den Umformungen sind in grau geschrieben.


Eine Herleitung der Kleinen Lösungsformel:
$x^2+px+q=0 \ \ \ | \ -q $            // Allgemeine Gestalt
$x^2+px=-q \ \ \ | \ + \left(\dfrac{p}{2}\right)^2 $
$x^2+px+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2=-q+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2 $
$\left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2=\left(\dfrac{p}{2}\right)-q $            // Auf vollständiges Quadrat bringen
$x+\dfrac{p}{2}=\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$            // Wurzel ziehen, Wurzel kann beide Vorzeichen annehmen
$x=-\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$




Eine Herleitung der Großen Lösungsformel:
$ax^2 + bx + c=0 \ \ \ | \ -c \\ ax^2 + bx =-c \ \ \ | \ \cdot 4a \\ 4a^2x^2+4abx=-4ac \ \ \ | \ +b^2 \\ (2ax)^2+2\cdot2axb+b^2=b^2-4ac \\ (2ax+b)^2=b^2-4ac \ \ \ | \ \sqrt{} \\ 2ax+b=\pm\sqrt{b^2-4ac} \ \ \ | \ -b \\ 2ax=-b\pm\sqrt{b^2-4ac} \ \ \ | \ \div 2a \\ x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

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