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Additionsverfahren


Vorgehensweise:

Beim Additionsverfahren multiplizierst du beide Gleichungen so, dass bei beiden Gleichungen vor einer Variablen (entweder x oder y) die gleichen Werte stehen.

Danach subtrahierst du die zweite Gleichung von der ersten und erhältst so eine Gleichung in einer Variablen, die du ganz normal löst.

Um den Wert der anderen Variablen zu erhalten, setzt du in die erste Gleichung ein.


Beispiele:
Löse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren!

$ I: x+3y=7 \\ II: 2x+5y=16 \\[15pt] \color{blue}{\text{ Gleichungen mit einer Zahl multiplizieren }} \\ I: x+3y=7 \ \mid \ \cdot 2 \\ \color{red}{2x+6y=14} \\[15pt] II: 2x+5y=16 \ \mid \ \cdot 1 \\ \color{red}{2x+5y=16} \\[15pt] \color{blue}{\text{Vor dem x steht die gleiche Zahl.}\\ \text{ Deshalb können die Gleichungen voneinander} \\ \text{subtrahiert werden. Vorsicht bei den Vorzeichen!}} \\[6pt] (2x+6y) - (2x+5y) = (14) - (16) \\ 2x+6y-2x-5y=14-16 \\ 6y-5y=-2 \\ \underline{\underline{ y=-2 }} \\[15pt] \color{blue}{\text{ Um den x-Wert zu erhalten, y-Wert in 1.Gleichung einsetzen. }} \\[6pt] x+3 \cdot (-2) = 7 \\[6pt] x-6=7 \ \mid \ + 6 \\[6pt] \underline{\underline{ x=13 }} $


Mögliche Fälle:

1. Keine Lösung.
Beim Lösen der Gleichung entsteht eine falsche Aussage. (z.B. $ -6=10 $)

2. Eine Lösung.
Beim Lösen der Gleichung bekommt man eine Lösung heraus. (z.B. $ x=-2 $ und $ y=9 $)

3. Unendlich viele Lösung.
Beim Lösen der Gleichung entsteht eine immer wahre Aussage. (z.B. $ 3=3 $ oder $ -7=-7 $ oder $ 0=0 $)



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