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Wendepunkt

7.Klasse (Österreichischer Schulplan)



Information:
Auf dieser Seite erklären wir dir, was Wendepunkte sind und wie du sie von einer Funktion bestimmen kannst. Für dieses Thema ist entscheidend, dass du die Ableitung einer Funktion bilden kannst. Falls du nicht weißt, wie das geht, kannst du es ja hier nochmal nachlesen.

Inhaltsverzeichnis:




Definition:


Für einen Wendepunkt gilt, dass die zweite Ableitung an dem Punkt gleich $0$ ist und die dritte Ableitung an dieser Stelle ungleich $0$ ist. Formal ausgedrückt bedeutet das so viel, dass wenn $x$ eine Wendestelle sein soll, die Beziehungen

$ \begin{align} \ \ \ \ \ \ f''(x_0) = 0\\ \ \ \ \ \ \ f'''(x_0) \ne 0 \end{align} $

erfüllt sein müssen.


Hinweis für Interessierte:
Die oben genannte Definition für einen Wendepunkt ist hinreichend, jedoch nicht notwendig. So hat beispielsweise die Funktion $f(x)=x^5$ einen Wendepunkt an der Stelle $x_0=0$, obwohl die dritte Ableitung gleich $0$ ist. Ein verallgemeinertes Kriterium lautet folgendermaßen: Gilt, dass die ersten $2n$ Ableitungen gleich $0$ sind und die $(2n+1)$-te Ableitung ungleich $0$, dann hat die Funktion $f$ an der Stelle $x_0$ einen Wendepunkt.


Wichtige Bemerkung: Wendestellen werden Wendestellen genannt, weil an diesen Stellen der Funktion sich die Krümmung ändert. Ist die Krümmung der Funktion also bis zur Wendestelle linksgekrümmt (=positiv gekrümmt), dann ist sie nach der Wendestelle rechtsgekrümmt (=negativ gekrümmt)

Schau dir am besten das folgende Beispiel an:

Die zweite Ableitung der Funktion sieht folgendermaßen aus:

Die Nullstellen der 2.Ableitung sind also die Wendepunkte der Funktion. An diesen Stellen ändert sich die Krümmung.

Tipp:
Du kannst graphisch ganz einfach sehen, wo die Wendepunkte liegen. Denn wenn du weißt, wo eine Funktion links- bzw. rechtsgekrümmt ist, sind die Stellen, wo sich die Krümmung ändert die Wendepunkte.

Mithilfe der folgenden Abbildung weißt du nämlich sofort die Krümmung einer Funktion. Achte auf den Mund des Smileys. Dieser symbolisiert den Verlauf der Funktion.



Schritt-für-Schritt Anleitung: Wie bestimme ich die Wendepunkte einer Funktion?


1.Schritt: Bilde die zweite und dritte Ableitung der Funktion.
2.Schritt: Setze die zweite Ableitung gleich $0$ und löse nach $x$ auf.
3.Schritt: Setze die möglichen Wendepunkte in die dritte Ableitung ein. Falls nicht $0$ herauskommt, handelt es sich um einen Wendepunkt.

Schau dir jetzt am besten die durchgerechneten Beispiele an!


Beispiele:
1) Bestimme die Wendepunkte der Funktion $f(x)=x^3+2x^2$.

Die Lösung:
Berechne zuerst die 2.Ableitung der Funktion. Es ergibt sich: $f''(x)=6x+4$. Gleich Null setzen:

$6x+4=0 \Leftrightarrow \\[6pt] 6x = -4 \ \ \mid \div 6 \Leftrightarrow \\[6pt] x=-\dfrac{2}{3}$

Um den y-Wert zu bestimmen, setzt du in die ursprüngliche Funktion ein.
Du berechnest also $ f(0.66)=(0.66)^3+2 \cdot (0.66)^2 = 1.19... $.

Setze nun den möglichen Wendepunkt in die dritte Ableitung ein, um zu kontrollieren ob es sich wirklich um einen Extrempunkt handelt: $f'''(0.66)=6$. Da $6 \neq 0$ ist, handelt es sich bei $X=(0.66/1.19)$ um einen Wendepunkt.


2) Bestimme die Wendepunkte der Funktion $f(x)=x^4+1$.

Die Lösung:
Berechne zuerst die 2.Ableitung der Funktion. Es ergibt sich: $f''(x)=12x^2$. Gleich Null setzen:

$12x^2=0 \ \ \mid \div 12 \Leftrightarrow \\[6pt] x^2 = 0 \ \ \mid \sqrt{} \Leftrightarrow \\[6pt] x=0$

Um den y-Wert zu bestimmen, setzt du in die ursprüngliche Funktion ein.
Du berechnest also $ f(0)=0^4+1 = 1 $.

Setze nun den möglichen Wendepunkt in die dritte Ableitung ($f'''(x)=24x$) ein, um zu kontrollieren ob es sich wirklich um einen Extrempunkt handelt: $f'''(0)=24 \cdot 0$. Da die dritte Ableitung beim Wendepunkt gleich 0 ist, handelt es sich nicht um einen Wendepunkt. Die Funktion $f(x)$ besitzt also keine Wendepunkte.



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