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Gleichsetzungsverfahren


Information:
Beim Gleichsetzungsverfahren löst du beide Gleichungen nach einer Variablen auf. Danach setzt du beide Gleichungen gleich und löst die daraus entstandene Gleichung in einer Variablen. Um den Wert der anderen Variablen zu erhalten setzt du in die erste Gleichung ein.


Beispiele:
Löse das Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren!

$ I: x+3y=7 \\ II: 2x+5y=16 \\[15pt] \color{blue}{\text{Erste Gleichung auf x= bringen: }} \\ I: x+3y=7 \ \mid \ -3y \\ \color{red}{x= 7-3y} \\[15pt] \color{blue}{\text{Zweite Gleichung auf x= bringen: }} \\ II: 2x+5y=16 \ \mid \ -5y \\ 2x=16-5y \ \mid \ \div 2 \\ \color{red}{x= \dfrac{ 16-5y }{2}} \\[15pt]\color{blue}{\text{Beide Gleichungen gleichsetzen und nach y auflösen}} \\[6pt] 7-3y = \dfrac{ 16-5y }{2} \ \mid \cdot 2 \\[6pt] 14-6y=16-5y \ \mid +5y \\[6pt] 14-y = 16 \ \mid \ \ -14 \\[6pt] -y = 2 \ \mid \ \cdot (-1) \\[6pt] \underline{\underline{ y=-2 }} \\[15pt] \color{blue}{\text{ Um den x-Wert zu erhalten, y-Wert in 1.Gleichung einsetzen. }} \\[6pt] x+3 \cdot (-2) = 7 \\[6pt] x-6=7 \ \mid \ + 6 \\[6pt] \underline{\underline{ x=13 }} $


Mögliche Fälle:

1. Keine Lösung.
Beim Lösen der Gleichung entsteht eine falsche Aussage. (z.B. $ -1=5 $)

2. Eine Lösung.
Beim Lösen der Gleichung bekommt man eine Lösung heraus. (z.B. $ x=2 $ und $ y=-1 $)

3. Unendlich viele Lösung.
Beim Lösen der Gleichung entsteht eine immer wahre Aussage. (z.B. $ 4=4 $ oder $ -1=-1 $ oder $ 0=0 $)



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