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Nullstellen

7.Klasse (Österreichischer Schulplan)


Information:
Auf dieser Seite erklären wir dir, wie du die Nullstellen einer Funktion bestimmen kannst.

Üblicherweise berechnest du die Nullstellen einer quadratischen Funktion. Falls du nicht mehr weißt, wie die Lösungsformeln für quadratische Funktionen gehen, kannst du dies hier nochmal nachlesen.

Inhaltsverzeichnis:




Definition von einer Nullstelle:


Die Schnittpunkte einer Funktion mit der y-Achse werden Nullstellen genannt. Für Nullstellen gilt also immer $f(x)=0$. Bei einer Nullstelle gibst du anders als bei Punkten üblicherweise nur die $x$-Koordinate an (die $y$-Koordinate ist ja stets $0$).


Graphisch kannst du also ganz einfach die Nullstellen einer Funktion bestimmen. Wir erklären dir hier nun, wie du die Nullstellen rechnerisch bestimmst.


Nullstellen von linearen Funktionen bestimmen


Eine allgemeine lineare Funktion hat die Gestalt $ f(x)=kx+d $.

Schritt-für-Schritt-Anleitung:
1.Schritt: Setze die Funktion $f(x)$ gleich 0.
2.Schritt: Löse die Gleichung nach x auf. Die Lösungen der Gleichung sind die Nullstellen der Funktion.

Durchgerechnetes Beispiel 1:
Bestimme die Nullstellen der Funktion $ f(x)=4x+2 $.

1.Schritt: Setze die Funktion $f(x)$ gleich 0.
$4x+2$ $=0$

2.Schritt: Löse die Gleichung nach x auf.
$4x+2=0 \ \mid -2 \\[8pt] 4x=-2 \ \mid \div 4 \\[8pt] \underline{\underline{ x=-0.5 }}$

Die Nullstelle der linearen Funktion liegt also bei $x=-0.5$.



Durchgerechnetes Beispiel 2:
Bestimme die Nullstellen der Funktion $ f(x)=-3x-6 $.

1.Schritt: Setze die Funktion $f(x)$ gleich 0.
$-3x-6$ $=0$

2.Schritt: Löse die Gleichung nach x auf.
$-3x-6=0 \ \mid +6 \\[8pt] -3x=6 \ \mid \div \ (-3) \\[8pt] \underline{\underline{ x=-2 }}$

Die Nullstelle der linearen Funktion liegt also bei $x=-2$.



Nullstellen von quadratischen Funktionen bestimmen


--> Lösungsformeln von quadratischen Gleichungen
--> Quadratische Gleichungen

Eine allgemeine quadratische Funktion hat die Gestalt $ f(x)=ax^2+bx+c $.

Schritt-für-Schritt-Anleitung:
1.Schritt: Setze die Funktion $f(x)$ gleich 0.
2.Schritt: Löse die Gleichung nach x auf (große / kleine Lösungsformel bzw. Mitternachtsformel). Die Lösungen der Gleichung sind die Nullstellen der Funktion.

Durchgerechnetes Beispiel:
Bestimme die Nullstellen der Funktion $ f(x)=5x^2+6x-2 $.

1.Schritt: Setze die Funktion $f(x)$ gleich 0.
$5x^2+6x-2$ $=0$

2.Schritt: Löse die Gleichung nach x auf.
$5x^2+6x-2=0 \\[8pt] $
Setze nun in die große Lösungsformel ein:
--> $a=5, b=6$ und $c=-2$

$x_{1,2}=\dfrac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[12pt] x_{1,2}=\dfrac{-6\pm \sqrt{6^2-4 \cdot 5 \cdot (-2)}}{2 \cdot 5} \\[12pt] x_{1,2} = \dfrac{ -6 \pm \sqrt{ 76 } } { 2 \cdot 5 } \\[12pt] x_{1,2} = \dfrac{ -6 \pm 8.71779789 } { 10 } \\[20pt] x_{1} = \dfrac{ -6 + 8.71779789 } { 10 } = \color{red}{0.27177979} \\[12pt] x_{2} = \dfrac{ -6 - 8.71779789 } { 10 } = \color{red}{-1.47177979} $


Die Nullstelle der quadratischen Funktion liegen also bei $x=0.27$ und bei $x=-1.47$.



Nullstellen von kubischen Funktionen bestimmen


--> Polynomdivision (Artikel in Arbeit)
--> Horner-Schema (Artikel in Arbeit)

Eine allgemeine kubische Funktion hat die Gestalt $ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d $.

Schritt-für-Schritt-Anleitung:
1.Schritt: Setze die Funktion $f(x)$ gleich 0.
2.Schritt: Errate eine Nullstelle
3.Schritt: Polynomdivision / Horner-Schema anwenden
4.Schritt: Quadratische Gleichung lösen


Nullstellen von anderen Funktionen bestimmen


Bei allgemeinen Funktionen ist es oftmals nicht einfach die Nullstellen zu ermitteln. Nimm deshalb am besten einen graphischen Taschenrechner mit CAS beziehungsweise GeoGebra zur Hilfe.



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