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Satz des Thales

1.Klasse (Österreichischer Schulplan)



Satz:


Der Satz des Thales besagt, dass jeder Winkel in einem Halbkreis ein rechter Winkel ist.

Dieser Satz wird dem Philosophen und Mathematiker Thales von Milet zugeschrieben, welcher 600 v. Chr. lebte. Die Aussage des Satzes war jedoch schon den Ägyptern und Babyloniern bekannt.

Inhaltsverzeichnis:



Beispiel:


Wir illustrieren diesen Satz jetzt mit einem Beispiel:

Wir konstruieren den Durchmesser AB eines Kreises (Länge: 6cm).


Wir zeichnen den Mittelpunkt bei der Hälfte ein und konstruieren einen Halbkreis.


Wir zeichnen die Punkte X, Y und Z ein, welche auf dem Halbkreis liegen.


Wir verbinden die Punkte X, Y und Z jeweils mit A und B.
Und wir sehen: Die Winkel sind alle rechte Winkel!




Interaktive Grafik:


In diesem interaktiven Beispiel kannst du selber den Punkt X verschieben und sehen, dass der Winkel stets ein rechter Winkel bleibt:




Beweis vom Satz des Thales:


Um den Satz des Thales zu beweisen, werden lediglich zwei Hilfssätze benötigt:




Wir konstruieren zunächst in einen Halbkreis mit Mittelpunkt $M$ das Dreieck $ABC$. Zeichnen wir $CM$ ein, können wir erkennen, dass $ABC$ in die Dreiecke $AMC$ sowie $MBC$ geteilt wird. Diese Dreiecke sind gleichschenklig (Radien des Halbkreises).

Für die Winkelsumme im großen Dreieck gilt die folgende Beziehung: $\alpha + \beta + \gamma = 180°$. Da sich der Winkel $\gamma$ aus $\alpha$ und $ \beta $ zusammensetzt (also da gilt $\alpha + \beta = \gamma$) erhalten wir nach Einsetzen $\alpha + \beta + \alpha + \beta = 180°$. Umformen ergibt $\alpha + \beta = 90°$. Da jedoch gilt dass $ \gamma= \alpha+\beta $, erhalten wir $\gamma=90°$. Somit handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck.

Hinweis: Der griechische Mathematiker Euklid hat den Beweis im 3.Jahrhundert ebenfalls auf diese Art und Weise geführt.


Weiterführende Informationen:



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