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Binomische Formeln

3.Klasse (Österreichischer Schulplan)



Was sind Binomische Formeln:
Als binomische Formel bezeichnet man ein Binom, das quadriert oder noch höher potenziert wird, zum Beispiel $ (x+y)^2 $ ist eine binomische Formel, $x^2$ aber nicht. Wir sehen auch dass mindestens zwei Summanden in der Klammer stehen müssen (die voneinander addiert / subtrahiert werden), ein Buchstabe genügt nicht, wie wir oben gesehen haben, das ist ein normal potenzierter Term, der andere aber eine binomische Formel!

Wenn mehr als zwei Summanden / Differenzen in der Klammer stehen, ist es auch eine binomische Formel, z.B. $ (a+b+c)^2 $


1.Binomische Formel:
$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $


Herleitung rechnerisch:
$ \underline{\underline{ (a+b)^2 }} = (a+b) \cdot (a+b) = a^2 +ab+ba+b^2 = \underline{\underline{ a^2+2ab+b^2 }} $

Herleitung graphisch:

Der Flächeninhalt des blauen Quadrats ist $a^2$, der Flächeninhalt des grünen Quadrats ist $b^2$ und der Flächeninhalt der gelben Rechtecke ist $2 \cdot a \cdot b$ . Die Summe der ganzen Flächeninhalte ist der Flächeninhalt des ganzen Quadrats. Also der Flächeninhalt des Quadrats ist $a^2+b^2+2ab$.

Der Flächeninhalt des Quadrats kann aber auch so berechnet werden. Die Seitenlänge des Quadrats ist $(a+b)$, der Flächeninhalt also: $(a+b)^2$. Also gilt, dass $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ ist.

2.Binomische Formel:
$ (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 $


Herleitung rechnerisch:
$ \underline{\underline{ (a-b)^2 }} = (a-b) \cdot (a-b) = a^2 -ab-ba+b^2 = \underline{\underline{ a^2-2ab+b^2 }} $


3.Binomische Formel:
$ (a+b) \cdot (a-b)=a^2-b^2 $


Herleitung rechnerisch:
$ \underline{\underline{ (a+b) \cdot (a-b) }} = a^2 -ab+ba-b^2 = \underline{\underline{ a^2-b^2 }} $



Beispiele:
$ (2x+3y)^2 $ (in diesem Beispiel ist $a=2x$ und $b=3y$)
Also: $(2x)^2+2\cdot2x\cdot3y+(3y)^2 = 4x^2+12xy+9y^2$

$ (3a+4b)^2 $ (in diesem Beispiel ist $ a=3a$ und $b=4b$)
Also: $(3a)^2+2\cdot3a\cdot4b+(4b)^2=9a^2+24ab+16b^2$

$ (4u-6v)^2 $ (in diesem Beispiel ist $ a=4u$ und $b=6v$)
Also: $(4u)^2-2\cdot4u\cdot6v+(6v)^2=16u^2-48uv+36v^2$

$ (2w-3r)^2 $ (in diesem Beispiel ist $ a=2w$ und $b=3r$)
Also: $(2w)^2-2\cdot2w\cdot3r+(3r)^2=4w^2-12wr+9r^2$

$ (4x+5y)\cdot(4x-5y) $ (in diesem Beispiel ist $ a=4x$ und $b=5y$)
Also: $4x\cdot4x-5y\cdot5y=16x^2-25y^2$

$ (3x+7y)\cdot(3x-7y) $ (in diesem Beispiel ist $ a=3x$ und $b=7y$)
Also: $3x\cdot3x-7y\cdot7y=9x^2-49y^2$



Weitere Binomische Formeln (Exkurs):

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$
$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc$



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