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Matrizen addieren

Exkurs (Lineare Algebra)


Information

Auf dieser Seite erklären wir dir, wie du zwei Matrizen addierst und welche Voraussetzungen dafür überhaupt erfüllt sein müssen.


Voraussetzungen

Damit du zwei Matrizen addieren darfst, muss die Zeilenzahl sowie die Spaltenzahl der beiden Matrizen übereinstimmen. Das heißt soviel, dass die beiden Matrizen dieselbe Größe (d.h. gleich viele Zeilen und gleich viele Spalten) haben müssen.

Beispiel 1: Kann man die Matrizen A und B addieren?
$ A = \begin{pmatrix} 7 & -3 \\ 3 & -2 \\ 9 & 5.6 \end{pmatrix} $ und $ B = \begin{pmatrix} 5 & 3 & 4 \\ 8 & 4 & 0 \\ -3 & 4 & 4.7 \end{pmatrix} $

--> Eine Addition ist nicht möglich, da die Matrix $A$ 2 Spalten und die Matrix $B$ 3 Spalten besitzt.


Beispiel 2: Kann man die Matrizen A und B addieren?
$ A = \begin{pmatrix} 2 & -4 & 8 \\ 4 & -6 & 7.8 \\ 3 & 5 & -7.8 \end{pmatrix} $ und $ B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 8 & 3 & -8 \\ -3.9 & 4.1 & -8 \end{pmatrix} $

--> Eine Addition ist möglich, da die Matrizen dieselbe Größe haben.


Anleitung

Matrizen addierst du, indem du die einzelnen Einträge der beiden Matrizen zusammenrechnest. Schau dir hierfür am besten folgendes Beispiel an und präge es dir ein:

$ A = \begin{pmatrix} \color{red}{a_{11}} & \color{blue}{a_{12}} \\ \color{green}{a_{21}} & \color{orange}{a_{22}} \end{pmatrix} $ und $ B = \begin{pmatrix} \color{red}{b_{11}} & \color{blue}{b_{12}} \\ \color{green}{b_{21}} & \color{orange}{b_{22}} \end{pmatrix} $

Die Summe ergibt sich nun durch:
$\begin{pmatrix} \color{red}{a_{11}} & \color{blue}{a_{12}} \\ \color{green}{a_{21}} & \color{orange}{a_{22}} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \color{red}{b_{11}} & \color{blue}{b_{12}} \\ \color{green}{b_{21}} & \color{orange}{b_{22}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{red}{a_{11}} + \color{red}{b_{11}} & \color{blue}{a_{12}} + \color{blue}{b_{12}} \\ \color{green}{a_{21}} + \color{green}{b_{21}} & \color{orange}{a_{22}} + \color{orange}{b_{22}} \end{pmatrix} $

Die Addition bei Matrizen mit mehr Zeilen / Spalten funktioniert genau gleich. Schau dir jetzt am besten die folgenden durchgerechneten Beispiele an.


Durchgerechnete Beispiele

Addiere die Matrizen $ A = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 6 & -1 \end{pmatrix} $ und $ B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} $.

Die Lösung:
$\begin{pmatrix} \color{red}{4} & \color{blue}{-5} \\ \color{green}{6} & \color{orange}{-1} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \color{red}{1} & \color{blue}{-2} \\ \color{green}{0} & \color{orange}{-3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{red}{4} + \color{red}{1} & \color{blue}{-5} + \color{blue}{(-2)} \\ \color{green}{6} + \color{green}{0} & \color{orange}{-1} + \color{orange}{(-3)} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -7 \\ 6 & -4 \end{pmatrix}$


Addiere die Matrizen $ A = \begin{pmatrix} 1.3 & -2.7 \\ -6 & 4 \\ -3 & 7 \end{pmatrix} $ und $ B = \begin{pmatrix} -3 & 2 \\ 4 & -1 \\ 0 & 9.8 \end{pmatrix} $.

Die Lösung:
$\begin{pmatrix} \color{red}{1.3} & \color{blue}{-2.7} \\ \color{green}{-6} & \color{orange}{4} \\ \color{purple}{-3} & \color{lightblue}{7} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \color{red}{-3} & \color{blue}{2} \\ \color{green}{4} & \color{orange}{-1} \\ \color{purple}{0} & \color{lightblue}{9.8} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \color{red}{1.3} + \color{red}{(-3)} & \color{blue}{-2.7} + \color{blue}{2} \\ \color{green}{-6} + \color{green}{4} & \color{orange}{4} + \color{orange}{(-1)} \\ \color{purple}{-3} + \color{purple}{0} & \color{lightblue}{7} + \color{lightblue}{9.8} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1.7 & -0.7 \\ -2 & 3 \\ -3 & 16.8 \end{pmatrix}$



Rechenregeln für die Addition von Matrizen

Für die Addition zweier Matrizen gilt das Assoziativgesetz, das Kommutativgesetz, das Distributivgesetz als auch folgender Zusammenhang bezüglich der transponierten Matrix:

1. Assoziativgesetz: $ \color{red}{A} + (\color{blue}{B} + \color{orange}{C}) = (\color{red}{A} + \color{blue}{B}) + \color{orange}{C} $
2. Kommutativgesetz: $ \color{red}{A} + \color{blue}{B} = \color{blue}{B} + \color{red}{A} $
3. Distributivgesetze: $ (\color{red}{A} + \color{blue}{B}) \cdot \color{orange}{C} = \color{red}{A} \cdot \color{orange}{C} + \color{blue}{B} \cdot \color{orange}{C} $ sowie $ \color{red}{A} \cdot (\color{blue}{B} + \color{orange}{C}) = \color{red}{A} \cdot \color{blue}{B} + \color{red}{A} \cdot \color{orange}{C} $
4. Zusammenhang bezüglich transponierter Matrix: $ (\color{red}{A} + \color{blue}{B})^{T} = \color{red}{A}^{T}+\color{blue}{B}^{T} $


Weiterführende Informationen

Die Matrizenaddition bildet eine additive Gruppe. Dabei ist das neutrale Element die Nullmatrix.



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